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A grande Contribuição de Maxwell está mudança da lei de Ampère. O conceito da corrente de deslocamento foi um grande revolução algébrica para sistemas de altas frequências.
No estudo de campos eletrostáticos, visto em física III, as descrições algebricas de tais fenômenos são dados por:
a) Lei de Gauss para o campo elétrico (Lei de Gauss Eletrostática):
\boxed{\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v}
b) Lei de Gauss para o campo magnético (Lei de Gauss Magnetostática):
\boxed{\nabla \cdot \mathbf{B} = 0}
c) Lei de Faraday (Lei da Indução Eletromagnética):
\boxed{\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}}
d) Lei de Ampère:
\boxed{\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}}
Lembrando que as unidades utilizadas são as do Sistema Internacional (SI), onde:
\mathbf{D} \to deslocamento elétrico (C/m)\mathbf{E} \to campo elétrico (V/m)
\mathbf{B} \to campo magnético (T)
\rho \to densidade de carga elétrica (C/m^3)
\mathbf{J} \to densidade de corrente (A/m^2)
\epsilon \to permissividade elétrica no vácuo (8.854187817 \times 10^{-12} F/m)
\mu_0 \to permeabilidade do vácuo (4\pi \times 10^{-7} A/m)
O desenvolvimento do algebra vetorial na época em conjunto de muitas outras teorias matemáticas fizeram que a teoria eletromagnética fosse descrita matemáticamente por 4 equações, o que anteriormente chegou a ser descrita por mais de 20 fórmulas.
A lei de Amperè descrita anteriormente era incorpartível com a conservação de carga (ou melhor, conservação de energia). Para sistemas de baixa frequência a lei de Ampère se enquadrava com erros desconsideráveis, porém com o desenvolvimento de sistemas de altas frequências, haver-ia um erro extremamente considerável no cálculo matemático/valor real.
Obviamente, a teoria deve ser construída a partir da base de que “nada pode ser construído, nada pode ser destruído, somente transformado”
E vejamos algebricamente:
– Lei de Amperè (Vamos deixar “H” em minúsculo a fim de descreve-los que a indução magnética varia com o tempo)
\nabla \times \mathbf{h} = \mathbf{j} , onde \mathbf{j} = \sigma \mathbf{e}
A matemática nos permite tirar o divergente de ambos os lados. Portanto:
\nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{h}) = \nabla \cdot \mathbf{j}
O divergente do produto vetorial de vetores sempre é zero. Portanto:
\cancel{\nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{h})}^{ 0} = \nabla \cdot \mathbf{j}
\therefore 0 = \nabla \cdot \mathbf{j}
Vejamos que seria necessário que o divergente da densidade de corrente seja nulo, o que de fato não é. Ou seja \nabla \cdot \mathbf J \ne 0 o que infringe a continuidade da corrente elétrica!
Maxwell então supôs que a lei de Amperè deveria ter um outro termo no qual satisfaria a equação dada. Adicionando então o termo J_d (no qual veremos que seu sentido físico é a corrente de deslocamento). Portanto a lei de Amperè fica do seguinte modo:
\nabla \times \mathbf{h} = \mathbf{j} + \mathbf{J_d}
Portanto agora tirando o divergente dos dois lados:
\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{h}) = \nabla(\mathbf{j} + \mathbf{J_d}) 0 = \nabla(\mathbf{j} + \mathbf{J_d}) -\nabla \mathbf{j} = \nabla\mathbf{J_d}Sabendo que \boxed{ \nabla.\mathbf{J} = – \frac{d \mathbf{\rho_v}}{dt}}, ou seja, a densidade de corrente elétrica é o diferencial da densidade de carga elétrica na variável tempo. Assim:
\nabla \mathbf{J_d} = \left(\frac{\partial \rho_v }{\partial t}\right)
Pela lei de Gauss \nabla \mathbf{d} = \rho_v podemos substituir na equação a cima dando então:
\nabla . \mathbf{J_d} = \left(\frac{\partial \nabla.\mathbf{d}}{\partial t}\right)
Podemos tirar o operador nabla de dentro da derivada e deixar operando a derivada:
\nabla . \mathbf{J_d} = \nabla.\left(\frac{\partial \mathbf{d}}{\partial t}\right)
Pelo identidade matemática conhecida como teorema da unicidade do divergente, podemos simplesmente eliminar a operação de divergente. Assim:
\large{\mathbf{J_d} = \frac{\partial \mathbf{d}}{\partial t}}
O deslocamento elétrico d, é dado por d = \epsilon . \mathbf{e} Assim conclui-se por final que o termo adicionado por Maxwell é dado por:
\boxed{\mathbf{J_d} = \epsilon \frac{\partial \mathbf{e}}{\partial t}}
Uma das grandes contribuições de Maxwell está em modificar à lei de Ampère adicionando o termo “densidade de corrente de deslocamento”, o que por fim, fica da seguinte forma:
\boxed{\nabla \times \mathbf{h} = \mathbf{J} + \mathbf{J_d}}\boxed{\nabla \times \mathbf{h} = \sigma. \mathbf{e} + \epsilon \frac{\partial \mathbf{e}}{\partial t}} \to lei de Ampère/ Maxwell.