Existência de um Limite

Um limite pode existir ou não. A condição de existência de um limite está em sua continuidade, seu domínio e sua imagem. Nessa aula vamos analisar e entender como funciona cada uma dessas condições no qual será de extrema importância!

Quando estamos falando de limites, podemos fazer 3 cálculos:

  • Limite lateral tendendo pela esquerda; (lim_{x \to a^-}{f(x)})
  • Limite lateral tendendo pela direita; (lim_{x \to a^+}{f(x)})
  • Limite Bilateral; (lim_{x \to a}{f(x)})

É ai que entra o grande negócio! Pois para a existência do limite bilateral é necessário que tanto o limite lateral esquerda e o limite lateral direita devem possuir o mesmo valor. Matematicamente expressamos da seguinte forma:

lim_{x \to a}{(f(x))} = L,  se  somente,  e  se:  \boxed{lim_{x \to a^+}{(f(x))} = lim_{x \to a^-}{(f(x))} =  L}

Portanto, muitas vezes que seu professor, ou você que estiver estudando quiser verificar a existência de um limite, será necessário calcular os limites laterais daquela função em um determinado ponto.

Exemplo 1: Mostre que lim_{x \to 0}|x| = 0

Vamos lembrar da função modular! É importantíssimo sabermos como funciona esse tipo de função.

Uma função modular sempre retorna um valor positivo!

Portanto temos:

|x|  =\begin{cases}x,\text{ se } x \geq 0  \\ -x, \text{ se } x  <  0 \end{cases}

O gráfico de módulo de x é que nem um bico de pato! Vejamos:

Gráfico de módulo de X - Existencia do limite tendendo a 0
Fig 1. Gráfico da função módulo de x.

Já que queremos o lim_{x \to 0}{|x|} devemos estudar o limite dessa função quando x \to 0^+   e  x \to 0^-.

Lembremos novamente que:

x \to 0^+  >  0, entrando na condição número 1 de |x|; Ou seja, |x| = x. Portanto calculando seu limite:

\boxed{lim_{x \to 0^+}{x} = 0}

x \to 0^-  >  0, entrando na condição número 2 de |x|; Ou seja, |x| = -x. Portanto calculando seu limite:

\boxed{lim_{x \to 0^-}{(-x)} = 0}

Concluímos que os limites laterais são iguais! E valem 0. Portanto o limite existe e ele vale 0. Matematicamente:

\boxed{lim_{x \to 0}{|x|}  =  0}

Satisfazendo então, a condição de existência de um limite

Exemplo 2: Mostre que lim_{x \to 0}{\frac{|x|}{x}  não  existe:}

Estudemos novamente a função modular, só que agora dividida por um determinado x!

Novamente temos que:

|x|  =\begin{cases}x,\text{ se } x \geq 0  \\ -x, \text{ se } x  <  0 \end{cases}

x \to 0^+  >  0, entrando na condição número 1 de |x|; Ou seja, |x| = x. Portanto calculando seu limite:

\boxed{lim_{x \to 0^+}{\frac{x}{x}} = 1}

x \to 0^-  >  0, entrando na condição número 2 de |x|; Ou seja, |x| = -x. Portanto calculando seu limite:

\boxed{lim_{x \to 0^-}{\frac{(-x)}{x}} = -1}

Veja que qualquer coisa pode mudar na matemática! Uma divisão por x, faz o limite não existir!!

vejamos que os limites laterais são diferentes, não aceitando a condição de existência do limite. Portanto:

\boxed{lim_{x \to 0^-}{\frac{(|x|)}{x}} \ne lim_{x \to 0^+}{\frac{(|x|)}{x}}}

O limite não existe!!!!

FUNÇÃO MODULO DE X / X LIMITE CONDIÇÃO DE EXISTENCIA
Fig 2. Gráfico da função módulo x por x
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