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Exercício 1: A água do mar apresenta as seguintes características:
\epsilon = 81 \epsilon_o
\sigma = 4 [S/m]
Determine as faixas de frequências nas quais esse meio comporta-se como condutor, quase condutor e dielétrico.
A partir da teoria do condutividade elétrica de um meio material temos as seguintes condições:
Para um meio dielétrico:
\Large{\frac{\sigma}{\omega * \epsilon} \le \frac{1}{100}}
já que \omega = 2 \pi f temos que:
\Large{\frac{\sigma}{2 \pi f \epsilon} \le \frac{1}{100}}
Isolando a frequência f:
\Large{\frac{100* \sigma}{2 \pi \epsilon} \le f}
Substituindo os valores dados no exercício, temos:
\Large{\frac{100. 4}{2 * \pi * 81 * 8,85*10^{-12}} \le f}
88,8 * 10^9 Hz \le f
Ou seja: \boxed{f \ge 88,8 GHz} \to Dielétrico
Para um meio condutor:
\Large{\frac{\sigma}{2 \pi f \epsilon} \ge 100}
Isolando a frequência:
\Large{\frac{\sigma}{2 \pi *100 \epsilon} \ge f}
Substituindo os valores dados no enunciado temos:
\Large{\frac{4}{2 \pi *100*81*8,85*10^{-12}} \ge f}
8,88*10^6 Hz \ge f
\boxed{f\ge 8,88 MHz} \to Condutor
Para um meio semicondutor, a frequência tem que estar entre os valores que classificam o meio como condutor e os valores que classificam o meio como dielétrico. Portanto:
\boxed{8,88 MHz \le f \le 88,8 GHz}
Exercício 2: Determine a frequência na qual a corrente de condução tem o mesmo módulo da corrente de deslocamento. Dado meio com permissividade \epsilon e condutividade \sigma
Consideremos um campo elétrico descrito por uma função senoidal do tipo:
(1) e = E_m*sen(\omega t + \theta)
Vimos na aula Corrente de deslocamento x Corrente de condução que a densidade de corrente de condução é dada por:
(2) \vec{j} = \sigma*\vec{e}
E que a densidade de corrente de deslocamento é dada por:
(3) \vec{j_d} = \epsilon * \dfrac{\partial \vec{e} }{\partial t}
Juntando as equações (1) com (2), a densidade de corrente de condução fica:
(4) \boxed{ \vec{j} = \sigma*E_m*sen(\omega t + \theta)}
Juntando as equações (2) e (3) temos o seguinte cálculo:
\vec{j_d} = \epsilon * \dfrac{\partial }{\partial t}(E_m*sen(\omega t + \theta))
A derivada de seno é cosseno e pela regra da cadeia temos a derivada de \omega t multiplicando todo o elemento.
\vec{j_d} = \epsilon * E_m * (\omega t)’ * cos(\omega t + \theta))
e a derivada de \omega .t = \omega \therefore (5) \boxed{\vec{j_d} = \epsilon * E_m * \omega * cos(\omega t + \theta))}
Consideremos os valores da densidade de corrente máxima. Portanto temos que cos(\omega .t + \theta) = 1 e sen(\omega .t + \theta) = 1 , teremos então a partir das relações (4) e (5):
(6) \vec{j} = \sigma * E_m \to densidade de corrente de condução máximo(7) \vec{j_d} = \epsilon * E_m * \omega \to densidade de corrente de deslocamento máximo
Tirando a seguinte razão, chegamos ao cálculo da condutividade elétrica de um material:
(8) \Large{\frac{j}{j_d} = \frac{\sigma .\cancel{E_m}}{\epsilon . \omega. \cancel{E_m} }} = \frac{\sigma}{\omega * \epsilon}
Porém já que j_d = j então temos que \boxed{\Large{\frac{j}{j_d} = 1}}
Voltando a equação (8), podemos simplificar a razão entre densidades de correntes para 1. Assim:
1 = \Large{\frac{\sigma}{\omega * \epsilon}}\to 1 = \Large{\frac{\sigma}{2*\pi *f \epsilon} }
conclui-se que:
\boxed{ f = \Large{\frac{\sigma}{2 *\pi * \epsilon}}}