Exercício Resolvido 1 - Leis de Maxwell

Vamos inicialmente registrar as informações que temos disponíveis:

Um meio não magnético significa que a permeabilidade magnética do meio é igual à do vácuo, portanto: $\mu_0 = 4\pi.10^{-7} H/m$
Foi dado o campo magnético $h = 50.cos(\omega t – kz) \hat{x} + 100.sen(\omega t – kz) \hat{y}$
Foi dado o valor da frequência angular $\omega = 3.10^9 rad/s$
Por ser um Dielétrico perfeito (Não há condutividade elétrica) temos que $\sigma = 0 \therefore j = \sigma * \vec{e} = 0$

O plano é aplicar as equações de maxwell para descobrir o campo elétrico correspondente ao campo magético. Assim vamos aplicar a lei de Ampère-Maxwell:

$\large{\nabla \times \vec{h} = \left(\vec{j} + \vec{j_d} \right)}$

Se o meio tem condutividade nula, a densidade de corrente de condução é nula. Assim:

$\large{\nabla \times \vec{h} = \left(\cancel{\vec{j}} + \epsilon_0 \frac{\partial \vec{e}}{\partial t} \right)}$

Sobrando somente:

$(1) \large{\nabla \times \vec{h} = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{e}}{\partial t} }$

Já que temos o campo magnético, vamos calcular o rotacional dele:

\nabla \times \vec{h} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 50.cos(\omega t  –  kz) & 100.sen(\omega t  –  kz) & 0 \\ \end{vmatrix} = \frac{\partial}{\partial z} (50.cos(\omega t  –  kz) \hat{y}) –  \frac{\partial}{\partial z} (100.sen(\omega t  –  kz) \hat{x})

\nabla \times \vec{h} = 50* \frac{\partial}{\partial z} (cos(\omega t  –  kz) \hat{y})  –   100* \frac{\partial}{\partial z} (sen(\omega t  –  kz) \hat{x})

\nabla \times \vec{h} = 50* (-sen(\omega t – kz)*\underbrace{(\omega t – kz)’}_{\text{regra da cadeia}}) \hat{y})  –   100* cos(\omega t – kz)*\underbrace{(\omega t – kz)’ }_{\text{Regra da Cadeia}})\hat{x}

Então temos calculado o rotacional do campo magnético:

\boxed{\nabla \times \vec{h} = 50 * k *sen(\omega t – kz) \hat{y}  +   100* k *cos(\omega t – kz)\hat{x}}

Igualando na equ. (1), temos:

\nabla \times \vec{h} = 50 * k *sen(\omega t – kz) \hat{y}  +   100* k *cos(\omega t – kz)\hat{x}  = \large{ \epsilon \frac{\partial \vec{e}}{\partial t}}

Agora vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:

\frac{1}{\epsilon}(50 * k *sen(\omega t – kz) \hat{y}  +   100* k *cos(\omega t – kz)\hat{x})\partial t = \large{\partial \vec{e}}

\large{\vec{e} = \int \frac{1}{\epsilon}[(50 * k *sen(\omega t – kz) \hat{y}  +   100* k *cos(\omega t – kz)\hat{x} ] \partial t}

\large{\vec{e} = \frac{1}{\epsilon} [  50 * k * (-cos(\omega t -kz) * \frac{1}{\omega}) \hat{y}  +  100 * k * (sen(\omega t – kz)*\frac{1}{\omega}) \hat{x}]}

\large{\vec{e} = \frac{1}{\epsilon} [ – 50 * k * cos(\omega t -kz)* \frac{1}{\omega} \hat{y}  + 100 * k * sen(\omega t – kz)* \frac{1}{\omega}\hat{x}}

Portanto o campo elétrico fica da seguinte forma:

\boxed{\large{\vec{e} = –  \frac{ 50 * k * cos(\omega t -kz) }{\epsilon * \omega}\hat{y}  +  \frac{100 * k * sen(\omega t – kz)}{\epsilon * \omega} \hat{x}}}

Para descobrirmos o valor de K vai ser uma loucura! Pois agora vamos calcular o campo magnético a partir do campo elétrico que tinhamos calculado anteriormente e igualarmos ao campo magnético dado inicialmente.

A partir da lei de Faraday-Maxwell

$(1) \nabla \times \mathbf{e} = -\mu_0*\frac{\partial \mathbf{h}}{\partial t}$

Porém para poupar-nos do trabalho, podemos utilizar uma formula final para calcularmos o valor de K que é dado por:

K = \omega\sqrt{\epsilon*\mu_0}

K = \omega\sqrt{4\epsilon_0*\mu_0}

\boxed{K = 3*10^9*\sqrt{4*8,85.10^{-12}*12,566*10^{-7}} = 20,01 rad/m}