Sequências
0. Objetivo e Palavras Chaves:
Nesse artigo é esperado que meus queridos alunos e alunas entendam os seguintes conceitos:
- Definição de Sequências;
- Termo geral de uma sequência;
- Avaliação da divergência ou convergência de uma sequência;
- Determinar se uma sequência é crescente ou decrescente;
- Definição de uma sequência limitada superiormente ou inferiormente
- Teorema da sequência monótona.
1. Introdução:
Uma sequência é um conjunto de números com uma ordem definida.
a1, a2, a3, a4, …, an, …
Chamamos a1 de primeiro termo, a2 de segundo termo, an de enésimo termo e assim por diante.
Para cada valor de n, há um valor corresponde an, portanto podemos considerar uma sequência como uma função f(n). Um valor an representa o valor de y – imagem- , e n o valor do domínio dessa função.
Denotamos a sequência como:
2. Determinando uma Sequência:
Podem acontecer dois jeitos para determinarmos uma sequência.
- Receber a fórmula geral da sequência (Definição do termo geral da sequência);
- Conhecer os valores dos termos pertencentes à sequência e descobrir o termo geral.
Vamos ver essas duas formas como exemplo:
Exemplo 1) Determine os termos da sequência sabendo que as mesmas são representadas pelas seguintes formas:
Resposta:
Exemplo 2:
3. Convergência ou Divergência de uma Sequência:
Vamos considerar que uma sequência possui infinitos elementos, ou seja, essa sequência vai de n=1 até , o valor de an, para n tendendo ao infinito irá definir o mesmo será convergente ou divergente.
Para isso, vamos utilizar o conceito de limites, para definir o que logo segue:
Definição 1:
Uma sequência {an} é convergente, se o limite de n tendendo ao infinito da fórmula geral an for igual a um valor real L.
Ou seja, caso o limite denotado abaixo existir, dizemos que essa sequência é infinita.
Caso contrário, esse limite dará valores não reais, como infinito positivo ou negativo. Então essa sequência é divergente.
Para todo n pertencente ao conjunto dos números inteiros, as propriedades de uma sequência são iguais das funções, assim visto em cálculo I. A partir dessa colocação, podemos descrever o seguinte teorema:
EXEMPLOS RESOLVIDOS:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS - DIVERGÊNCIA E CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS
Um caso particular, seria a função f(x) = 1/xn , uma vez que consideramos n um número inteiro, então podemos fazer uma pequena mudança da notação de função para uma formula geral de sequência para um limite:
Utilizando o limite de uma sequência, temos disponíveis em nossas mãos, todas as ferramentas algébricas de limites, por tanto temos:
4. Sequência Monótona:
Definição 2:
Um sequência pode ser crescente, decrescente e, ou constante.
Uma sequência crescente é quando um termo é maior que seu termo anterior, assim mantendo-se o padrão, vejamos: an > an-1
Por outro lado, uma sequência decrescente é quando seu termo é menor que seu termo anterior, portanto an-1 > an
Para todo n ≥ 1 e inteiro.
Toda sequência que for crescente ou decrescente é considerada uma sequência monótona.
Definição 3:
