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O Teorema Fundamental do Cálculo como diz o próprio nome, é fundamental. Esse teorema estabelece a conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral.
O Cálculo diferencial basicamente surgiu para resolver o problema da tangente, discutidos nas aulas de introdução a limites e as integrais se desenvolveram a partir do problema da área (discutido nas aulas anteriores). Newton e Isaac Barrow – seu mentor – já haviam discutido bastante sobre as operações de derivadas e integrais e como seu comportamento de operação eram inversos.
Newton e Leibniz que exploraram essa relação e usaram-na para desenvolver o cálculo como um método matemático sistemático.
Primeiramente vamos definir alguns parâmetros:
a) Considerando uma função ƒ contínua em [a,b] e uma função g(x) tal que possuem uma relação que seria:
Apesar da funçã g não depender da variável t, e sim de x, o x se encontra no limite integrante superior da integral de f(t)dt. O que isso significa? Bom, vamos considerar que f(t) > 0, então teríamos um valor de x entre a e b no qual definirá a área sob a curva f(t). Veja a figura:
Da figura 1, vamos pegar somente um fita dessa área. Então vamos considerar a área g(x) e a área g(x+h). Fazendo a subtração entre áreas, teremos a área da fita retangular da figura abaixo:
Área do Retângulo: A = base x altura = h.f(x) = g(x+h) – g(x).(aprox.)
Dividindo os dois lados da equação por h, temos a seguinte equação:
Me diz uma coisa: Essa fórmula te lembra alguma coisa? Essa fórmula é muito parecida com a definição de derivada de uma função:
Intuitivamente esperamos que a derivada de g(x) seja igual a f(x) consequência da manipulação algebrica da fórmula 1.
Abreviamos o nome deste teorema por TFC1. Em palavras, ele afirma que a derivada de uma integral definida com relação a seu limite superior é seu integrando calculado no limite superior. Ou seja, de forma bem grosseira, a derivada da integral de f(x) é igual a f(x).
Formalmente dizemos:
Para integrais definidas, o Teorema Fundamental Do Cálculo Também funciona:
Talvez apenas teoricamente tenha ficado confuso, porém esse conteúdo é de extrema importância, vamos resolver alguns exercícios que tudo ficará mais claro. Fique na sua mente que derivada e integral são operações inversas, então a derifada da integral de f é o próprio f. Se a integral de f for definida (ter limites integrantes) então simplesmente basta fazer f(b) – f(a).