Áreas Abaixo da Curva

A certo ponto, conhecemos pelos estudos da Geometria, como calcular a área de figuras geométricas simples como por exemplo:

Mas agora você saberia me dizer qual é a área de um figura como essa abaixo?

Diferente das figuras acima, essa figura não possui uma formula para calcular a área exata. Figuras não regulares, formatos diferentes de triângulos e quadriláteros, sempre foram um problema para os matemáticos do passado. A integral é justamente uma operação no qual o seu resultado é a área da figura, desde que:

A curva descreva uma função y = f(x)
Tenha limites integrantes – Ou seja – Um início e um Final. (x = a e x = b)
O resultado de Integral de f(x) em x=a até x=b é a Área S.

1) Estimativa de valor da Área S:

Antes de começarmos a calcular integrais e vermos técnicas de integração, devemos entender como a integral foi definida. E tudo começa com a estimativa. Para fazermos a estimativa de uma figura desconhecida, vamos calcular qual é a área da curva a abaixo de y = x² em x = 0 e x = 1.

Uma das formas mais fáceis de estimar a área da figura 3, seria dividi-la em figuras geométricas já conhecidas. Nesse caso vamos dividir a figura 3 em retângulos. Vamos calcular uma área próxima de S com retângulos.

Primeiramente vamos dividir o retângulo em quatro partes, a altura do retângulo vai partir dos pontos mais altos da função y = x²:

São quatro retângulos com bases iguais: 1/4 e sua altura é relativa a função f(x). A área do retângulo é A = b.h, já que a altura é representada por f(x), então A = b. f(x).

As áreas são: A_i = b . x²

A₁ = b.ƒ(¼) = ¼ . (¼)²

A₂ = b.ƒ(½) = ¼ . (½)²

A₃ = b.ƒ(¾) = ¼ . (¾)²

A₄ = b.ƒ(1) = ¼ . 1²

Somando todas as áreas vamos conseguir a área total pintada de azul. Então veja que nossa área seria:

Veja que a área total calculada é maior que a área de S, apenas reparando na figura acima vemos que a área pintada de azul é maior que a área de S. Potanto podemos dizer que:

Agora vamos usar retângulos a partir das alturas mais baixas de f(x) para estimar a área da figura S:

Do mesmo jeito que fizemos da forma anterior, vamos estimar a área total da parte pintada de azul:

Observe que o primeiro retângulo tem altura 0, uma vez que h = f(x) e f(0) = 0. Portanto a área total é:

Temos uma conclusão muito boa aqui, percebemos que a área S está entre 0,21875 e 0,46875. Porém veja que a taxa de erro da área real de S ainda é muito grande. Então o que devemos fazer? Para diminuir o erro da estimativa da área, devemos aumentar o número de retângulos, tanto para baixo da curva, como para cima – do mesmo jeito que fizemos acima –

Fique em mente:

Enquanto maior o número de faixas que fizermos para subdividir a área S, mais próximo será a área estimada da área real de S. Portanto figuras como a figura 6, o ideal seria ter um número muito grande de retângulos de forma que a área estimada seja um valor muito próximo da área de S.

No final das contas, já que enquanto maior o número de subdivisões, mais próximo a área estimada será da área real de S, podemos alegar que para infinitas faixas em S, a área A será igual a área S, portanto algebricamente:

2) Generalizando Áreas de Figuras quaisquer:

Vamos considerar uma figura formada pela curva y=f(x), dada no intervalo x=a e x=b, além disso vamos considerar que todas as faixas possuem bases de tamanhos iguais e que a figura é divida em n subdivisões:

Intuitivamente, assim como vimos no exemplo passado, vemos que a medida que aumenta o número de retângulos ou seja o número de divisões (n) da figura, mais próximo a área Rn é da área S.

Portanto conclui-se que: para n tendendo ao infinito, Rn = S. Definimos então:

Podemos dizer que a área é expressa por: