Vimos na aula anterior que para calcularmos a área abaixo de uma curva y = f(x) deveríamos criar partições abaixo da curva em um intervalo x [a , b]. Subdividindo uma figura qualquer em um número n subdivisões muito grande (n -> ∞) conseguimos a área dessa figura. Portanto:

Essa fórmula também surgem no processo de encontrar o comprimento de curvas, volumes de sólidos, centros de massas, forças por causa da pressão da água e trabalho, assim como outras quantidades.

1. Definição de Integral Definida:

Considerando uma função contínua definida no intervalo de x [ a, b] e subdividida em n subintervalos de comprimentos de base iguais, temos que: Δx = (b – a)/n.

Observe que a medida que o número de subdivisões aumenta, menor fica o valor de Δx (confira nas figuras da aula anterior), e a medida que n tende ao infinito, Δx tende a 0. quando isso acontece, dizemos que esse comprimento é um elemento infinitesimal da figura, no qual Δx se torna dx.

Sejam as partições a=x₀, x₁, … , x_n = b, a variável i irá passar de ponto a ponto de a até b de forma que definimos:

O lado direito da equação deve-se ao desenvolvimento do matemático Riemman, também em homenagem, chamam de soma de Riemman, foi um grande matemático no qual ajudou muito no desenvolvimento da álgebra, geometria entre outros diversas áreas da matemática analítica.

a : É o limite inferior de integração de f(x).
b: É o limite superior de integração de f(x).
f(x): É a função integrante.
dx: É o elemento infinitesimal da figura subdivida e também nos indica em que variável estamos integrando.
∫ : É o operador Integral, operando sobre a função de f(x) de a para b.

2. Definição:

Se f(x) ≥ 0 , no dominio de [a,b], a integral definida de f (x) de a para b é a área sob a curva f(x):

Pode haver casos em que uma curva ora é positiva e ora é negativa, então podemos entender que:

3. Propriedades das Integrais:

Fiquem em mente que estamos vendo as partes mais teóricas e analítica das integrais. E essas três primeiras aulas mostram a base desse estudo. A partir das próximas aulas vamos ver um dos conteúdos mais importântes do cálculo Integral: Teorema Fundamental do Cálculo e Técnicas de Integração. Fique comigo, que temos muito para trabalhar!