Função Afim - BreakTheScience

Observe todas as funções abaixo e veja o que todas elas têm em comum:

f(x) = 4x + 5

f(x) = -x – 4

f(x) = 5x + 12

f(x) = 12x

Todas essas funções são de 1º Grau. Essas funções podem ser chamadas de função afim ou até mesmo de funções lineares. Elas possuem essa denominação pois a maior potência da variável dependente é 1. Em outras palavras a maior potência de x é 1 em f(x).

Podemos denotar essas característica linear de f(x) como f(x) = ax + b.

Definição 1:

Seja uma função f:ℜ -> ℜ, chama-se afim quando a e b ∈ ℜ tal que f(x) = ax + b

1) Identificando "a" e "b" de f(x):

Assim como visto em f(x) = ax + b – o “a” é aquele que está multiplicando x e o “b” é aquele que está sozinho.

f(x) = 2x + 1 – Temos que a = 2 e b = 1.
f(x) = – x + 4 – Temos que a = -1 e b = 4.
f(x) = 4x – Temos que a = 4 e b = 0.
f(x) = 5 – Uma função constante, tal que a = 0 e b = 5.

2) Calculando o Valor de um Função Afim:

Para calcular os valores de f(x) não há segredo algum. Assim como qualquer função devemos substituir o valor de x em f(x) ou y.

Considerando uma função linear: f(x) = 5x + 1

a) Para x = 1: f(1) = 5.1 + 1 = 6

b) Para x = -3: f(-3) = 5(-3) + 1 = -14

c) Para x = k + h: f(k+h) = 5(k + h) + 1 = 5k + 5h + 1

3) Componentes de uma Função Afim:

Uma função linear como visto anteriormente é composta pelos valores de a e b:

Coeficiente angular: É a taxa de variação da função, ou seja, é a variação da quantificação de f(x) por um intervalo de x. Veremos logo que os valores de a determinam o ângulo em que o gráfico está em relação ao eixo horizontal.

Supondo que temos dois pontos P₁(x₁,y₁) e P₂(x₂,y₂) que pertencem a função f(x), podemos calcular o coeficiente angular de f dessa maneira (Dizemos que a é igual a variação de y dividido pela variação de x):

Coeficiente linear: É o valor inicial de uma função linear, logo veremos que é onde a função corta o eixo y. Para calcularmos o coeficiente linear de uma função afim devemos calcular f(x) para x =0, ou seja, f(0) = a.0 + b então f(0) = b.

4) Determinando a lei de uma função afim com dois pontos:

Supondo que em uma reta, ou seja, uma função de 1º grau tenha dois pontos P₁(x₁,y₁) e P₂(x₂,y₂).

Então temos que:

f(x₁) = a.(x₁) + b

f(x₂) = a.(x₂) + b

Observe que essas duas formulas formam um sistema, no qual podemos resolver pois temos duas variáveis e duas equações.

Exemplo: Considerando dois pontos P₁(2,-2) e P₂(1,1), vamos criar um sistema de equações para descobrir os parâmetros a e b.
f(x₁) = a.(x₁) + b
f(x₂) = a.(x₂) + b

Concluímos então que se tivermos dois pontos que pertencem a função afim, podemos descobrir sua lei por meio de um sistema.

5) Resolvendo Problemas com função afim:

Vamos introduzir esse assunto resolvendo um problema simples:

Exemplo 1: Um motorista de taxi cobra 3,20 reais pela “bandeirada” e mais 1,50 reais por km rodado. Determine a lei da função e quanto custaria para andar 10 km de taxi:

Observe que sempre há duas características em um problema a se resolver. O primeiro é o valor fixo e o segundo é o valor que depende de algum elemento. Nesse caso, mesmo se não andássemos sequer 1 km, teríamos que pagar 3,20 reais (nosso valor fixo – nosso valor de b) e a km rodado iríamos pagar 1,50 reais a mais (nossa variável dependente – nosso valor de a), portanto sabendo que f(x) = ax + b. Temos:

f(x) = 1,50x + 3,20 como lei da função.

Se andarmos 10 km – f(10) = 1,50.(10) + 3,20 = 18,20 reais.

Exemplo 2: Uma fábrica produz peças para carros. Para a produção o custo fixo é de 8 reais e o custo para cada peça é de 0,50 reais. Mostre a lei da função e qual o preço depois de produzir 1000 peças:

Identificando: O preço fixo é de 8 reais (b) e o valor para cada peça fabricada é de 0,50 reais – ou seja – nossa variável dependente, nosso valor de a. Já que f(x) = ax + b:

f(x) = 0,50x + 8.

f(1000) = 0,50.(1000) + 8 = 508 reais serão gastos para produzir 1000 peças.

Gráfico de funções afim:

1) Introdução:

Uma função de primeiro grau é sempre uma reta. Todo gráfico que represente uma função linear ou afim é uma reta! Lembrando que algebricamente uma função linear é dada por f(x) = ax + b. Logo digo que a e b intereferem muito na construção de um gráfico, mas com a prática e análise logo será bem claro como fazer uma reta logo de cara.

Também vale lembrar que o gráfico de uma função é a representação de um conjunto de pontos que pertencem a essa mesma função, e eles são representados em um sistema de coordenadas. Geralmente usamos o sistema Oxy.

2) Primeira forma de como construir um gráfico:

Obviamente para começarmos a construir um gráfico devemos pelo menos conhecer dois pontos que pertencem a essa função. Precisamos no mínimo de dois pontos para construir uma reta.

Podemos conseguir logo de cara esses dois pontos e assim representa-los no sistema de coordenadas. Podemos também receber a lei da função f(x), tal que para cada valor de x, temos um valor de f(x) ou y, assim representamos da mesma forma.
Construa um sistema de coordenadas, no qual x fica na horizontal e y fica na vertical. Os pontos são representados da forma (x,y) – exatamente nessa ordem – então a cada valor de x andamos pela horizontal (pela direita ou pela esquerda) e cada valor de y andamos pela vertical (para cima ou para baixo).
Marcamos pelo menos 2 pontos que pertençam a f(x) e traçamos uma reta que passe pelos mesmos.

Exemplo 1) Construa o gráfico de f(x) = 2x + 1:

Recebemos a lei de função linear. Vamos colocar valores x quaisquer e obtermos valores de f(x) ou y. Assim conseguiremos pontos do gráfico (x,y).

f(0) = 2.(0) + 1 = 1 ; Nosso ponto 1 (0,1)
f(1) = 2.(1) + 1 = 3; Nosso ponto 2 (1,3)
f(2) = 2.(2) + 1 = 5; Nosso ponto 3 (2,5)

Observe o gráfico ao lado e olhe os pontos traçados, os eixos e a reta traçado nos pontos:

Exemplo 2) Sabendo que os pontos (-1, 2) e (1,-2) participam de uma reta, construa o gráfico:

O exemplo 2 já nos deu a faca e o queijo. Temos os dois pontos, então basta colocarmos no sistema de coordenadas (x,y) e traçar uma reta que participe dos mesmos.

Assim como visto nos conteúdos acima, podemos descobrir a lei da função a partir desses dois pontos! Vamos montar um sistema considerando que a função é linear logo, f(x) = ax + b.

3) Interpretação Gráfica dos Parâmetros "a" e "b" de uma Função Linear:

Apenas para relembrar, uma função afim, na forma algébrica fica dessa forma:

Observe os nomes. “Coeficiente angular” – É um determinante angular da reta – ângulo em relação ao eixo x – Vamos ver alguns casos:

Primeira análise: O sinal de “a”: Caso a > 0 o gráfico cresce indo a direita. Caso contrário o gráfico cresce indo a esquerda.

A segunda análise: Observe que o parâmetro “a” está muito envolvido com o ângulo entre a reta f(x) e o reta horizontal do eixo x. Enquanto maior o valor de a, maior o ângulo entre a reta e o eixo x:

O b é o nosso coeficiente linear ou conhecido como o valor inicial. Ele é responsável pela translação de f(x). Ele determina onde o gráfico irá cortar o eixo y:

Exemplo de como Esboçar Gráficos de uma Função Linear apenas com Interpretações:

Vamos esboçar os gráficos das funções que foram dadas de exemplo na introdução da aula:

f(x) = 4x + 5

f(x) = -x – 4

f(x) = 5x + 12

f(x) = 12x