Funções inversas - BreakTheScience

Vamos refletir pelo próprio nome da matéria. “Funções inversas” ou seja, uma função f(x) que possui uma função g(x) inversa a ele mesmo. Logo, temos um y = f(x), como dito nas aulas anteriores, um valor de entrada x é transformado por uma função f em um valor y ou f(x).

A função inversa de f(x) será aquela função que fará o caminho oposto, ou seja, o valor de entrada será y e ele terá que ser transformado pela função inversa g em um valor x = g(y).

Definição:

Dada uma função bijetiva f: A -> B, sua função inversa é dada por g: B -> A, tal que se f(x) = y, então g(y) = x, para todo x ∈ A e y ∈ B, A e B são conjuntos numéricos e X e Y ∈ ℜ.

Essa função g que transforma valores de y em x são denotados por f^-1, em outras palavras, a definição nos diz que se existe uma função que é inversa a y=f(x), essa função é chamada de f^-1(x) e ela irá fazer o caminho inverso de f, ou seja, se f transforma x em y, f^-1 irá transformar y em x. Observe a figura abaixo:

Importante: f-1 não é 1/f, é apenas a notação de que essa é uma função inversa a f.

Como descobrir a função inversa de f:

Supondo que existe uma lei de função y = f(x), vamos fazer um método:

Isolar x – Deixando então x em função de y – x(y).
Fazer uma troca de variáveis, ou seja, x se transforma de f^-1(x) e y se transforma em x.
A fórmula encontrada de f^-1(x) é a função inversa de f(x).

Exemplo Resolvido:

1) Considerando a função f(x) = 3x – 4.

a) Descubra a função inversa f^-1
b) Calcule o valor de f^-1(2)
c) Desenhe o gráfico de f(x) e f^-1(x) observe a simetria existente entre os gráficos.

Resposta:

Gráfico da Função Inversa:

O gráfico de f^-1 tem uma grande relação com o gráfico do próprio f. Essa relação é a simetria que existe entre f e f^-1 em relação a função y =x. A distância de cada ponto dos gráficos a y=x são iguais. Observe as duas figuras logo abaixo e repare como elas se relacionam com y=x.

Podemos ver a relação de duas maneiras: A primeira forma enxergar como se y=x fosse um espelho, então f(x) seria o objeto e f^-1 fosse a imagem. Já a segunda forma é rotacionar o gráfico em torno do eixo x, assim, a outra borda do gráfico rotacionado seria f^-1.

Exercícios Propostos:

1) Determine a função inversa das seguintes funções:
a) y = 4x + 3
b) y = 7x
c) y = 6x – 2
d) y = 9x -3
e) y = -x + 7

2) Seja a função inversa de f: R -> R, definida por f(x) = 7x – 3, então (4) é igual a:

3) Esboce os gráficos de f(x) = 7x -3 e sua respectiva função inversa, mostre graficamente como f e f^-1 se relacionando em torno de y =x.