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Como minha vida de estudante e professor, eu passei muito tempo “batendo a cabeça” para aprender diversas matérias. As integrais, a primeira vista, há um bom tempo atrás, eu tive uma dificuldade imensa de entender esse conteúdo. Porém eu percebi que tudo começa pelo começo, parece óbvio, mas na prática nem sempre é!
Eu sempre absorvia melhor os conteúdos, quando tinha outros aspectos relacionados a este mesmo conteúdo. E as integrais, começaram a fazer sentido para mim depois de muitos anos de estudo e reestudo do conteúdo. Percebi que estudar apenas como calcular as integrais, não é realmente entender o que é integral. Não somente nessa matéria, mas em todo assunto científico, por trás disso, existe uma história, existem cientistas que passaram pelo desenvolvimento do conhecimento, existiam problemas de aplicações no mundo, e assim a matemática – e como parte dela – as Integrais foram ferramentas essenciais para o desenvolvimento, aplicação tecnologias, no conhecimento e na base científica.
Nessa página, eu os apresento um caminho diferente de enxergar as integrais, é claro que nesse curso, iremos aprender todas as técnicas de integração, suas aplicações e como você mandar bem nas suas provas! Mas o convido, a ter outras perspectivas além de saber técnicas de Integração.
É incrível pensar que o Cálculo de certa forma começou a ser desenvolvida há mais ou menos 3600 anos atrás. O cálculo Integral já era discutida no Egito Antigo (1800 a.c), em uma das grafuras encontradas por pesquisadores e historiadores, mostravam que um problema matemático que tinham na época era calcular o volume de um tronco de pirâmide.
Astrônomos Babilônicos (1800 a.c – 1600 a.c) – Estudavam o céu e os corpos celestes, a partir disso tinham ideia de localização e tempo a partir de seus estudos. Os Babilônios usaram estratégias geométricas de certa forma bem complexas para criar um mapa celestial, e para isso, dependiam do calculo da área da região para conseguir prever a posição dos corpos celestes.
Arquimedes (287 – 212 a.c) – Um grande cientista Grego fez muitas experiências com sólidos e líquidos, hoje a Lei do Empuxo é dado a homenagem ao Teorema de Arquimedes, no qual ele postulou:
“todo corpo mergulhado num fluido recebe um impulso de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado, por esse motivo, os corpos mais densos que a água, afundam, enquanto os menos densos flutuam”.
É claro que vale ressaltar, que a tradução e os conceitos físicos não foram exatamente o que foram escritos por Arquimedes a 230 a.c. Mas de certa forma, o reconhecimento do empuxo que um corpo sofria devida a interação entre líquidos e sólidos deviam a Arquimedes, que também por sua vez teve muita dificuldade para calcular o volume que o líquido tinha. Um método que foi utilizado, foi o método da exaustão, ou seja, a subdivisão do volume total e pequenos volumes reconhecíveis e a soma de todas essas subdivisões gerariam uma estimativa de qual era o volume do líquido inicial.
Mas afinal, por que estou falando de todos esses acontecimentos?
As integrais são operadores, denotados pelo simbolo: ∫ , ou seja existem os operadores soma (+), subtração (-), multiplicação (x), divisão (/ ), e existem as integrais (∫). Essa operação é uma consequência do desenvolvimento matemático e as necessidades do mundo antigo, que por sua vez também vieram ter necessidades na idade média, assim como na idade moderna.
A integral é uma operação que é definida pela soma de um número muito grande de subdivisões (ou seja é um soma de infinitos termos) no qual chegamos a algum resultado. Como uma aplicação geométrica, as integrais são operações que calculam áreas de superfícies, independente de qual estranho seja a forma da superfície. Assim como as integrais podem ser usadas para calcular volumes. Essa ferramenta permitiu a aplicação matemática em diversas áreas da vida como na medicina, na biologia, na física, nas construções, em praticamente tudo.
Os problemas sofridos pelos povos antigos, da idade média e moderna foi o que chegaram ao conhecimento do cálculo diferencial e integral. E hoje, mesmo que muitas coisas tenham sido desenvolvidas nas ciências, devemos muito a dois cientistas que juntaram todas as peças desenvolvidas no passado, definiram e teorizaram o calculo como ele é, dando então a sua forma.
Eles são: Gottfried Wilhelm Leibniz e a Isaac Newton.
Newton era um grande Físico formado pela universidade de Cambridge em 1665, já era muito discutido entre Newton e Seu professor Isaac Barrow, a relação entre Integrais e Derivadas. Além disso dois anos depois de sua formação, enquanto observava o movimento dos planetas, teve a conclusão de que o planeta tinha a direção do vetor velocidade igual a tangente do ponto em que o planeta se encontrava. Assim o movimento poderia ser descrito por vários vetores tangentes aos inúmeros pontos da trajetória dos planetas. Além dessas descobertas, Newton foi um dos cientistas que materializou e descreveu o teorema fundamental do cálculo.
Já Leibniz, era um Matemático, que desenvolveu o cálculo de forma mais analítica e descritiva. Até hoje utilizamos notações inventadas pelo o mesmo ( dy/dx, ∫ ) e etc.
Agora que vimos um pouco da História que o cálculo diferencial e integral carrega, vamos realmente entrar na matéria, fique comigo e vamos aprender juntos esse conteúdo tão fundamental para a ciência.