Limites laterais:

Quando estamos falando em limites, temos que estar atento em valores que tendem a um determinado número, mas não são efetivamente o próprio número.

Ou seja quando dizemos que:

x \rightarrow 0 , não significa que x é igual a 0 , mas que x tem um valor suficientemente próximo a 0

Usamos como exemplo, para introduzir o assunto de limites laterais, a função de Heaviside, H.

   A função é definida como:

Climites6 1
Figura 3: Definição da função Heaviside e gráfico de H(t).

Observe que há dois caminhos para chegar no ponto t=0. Podemos aproximar o valor de t pela esquerda ou podemos aproximar pela direita.

Aproximação pela esquerda: São valores de t < a, e portanto seu intervalo de (t, a). Ex: aproximação pela esquerda para t=0, temos: (t=-0,5; -0,2; -0,1; -0,01; -0,001, …). Cada vez o valor de t chega mais perto de t=0, porém com t<0.

Aproximação pela direita: São valores de t>0 e portanto seu intervalo de (a, t). Ex: Aproximação pela direita para t=0, temos:(t= 0,5; 0,2; 0,1; 0,01 , …). cada vez o valor de t chega mais perto de 0, porém com valores de t>0.

Devemos concluir que: Limites podem tender ao mesmo valor, mas eles dependem do caminho de aproximação também. Observe que pode acontecer dos limites laterais terem valores diferentes e portanto o limite não existe!

Vou repetir e guarde isso com muito carinho: Se o valor de f(x) que se aproxima de um ponto pela esquerda ser diferente do valor de f(x) que se aproxima pela direita, o limite nesse determinado ponto não existe!

Olhe atentamente para minha resolução:

Aproximação limites laterias, pela esquerda e pela direita
Fig 4: Aproximção dos limites laterais e continuidade do limite.

Definição 2:

Formalizando o que escrevi logo em cima, escrevemos:

\lim_{x \to a^-} f(x) = L

“O limite à esquerda de f(x), quando x tende a a é igual a L.”

Podemos tornar f(x) = L , quando há valores de x suficientemente perto de a, se somente se x<a.

Da mesma forma temos que:

Escrevemos:

\lim_{x \to a^+} f(x) = L

“O limite à direita de f(x), quando x tende a a é igual a L.”

Podemos tornar f(x) = L, quando há valores de x suficientemente perto de a, se somente se x<a.

CILimites10
Figura 5: Quando x se aproxima pela esquerda e quando x se aproxima pela direita.

Definição 3:

O limite de f(x), quando x tende a a só existirá, se somente se, os valores dos seus limites laterais forem iguais. Algebricamente expressamos da seguinte forma:

\lim_{x \to a} f(x) = L se, e somente se, \lim_{x \to a^-} f(x) = L e \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Os limites laterais devem ser iguais!

Exemplos resolvidos:

CLimires12

Gabarito:

Analisando os gráfico e fazendo os caminhos dos valores temos:

a) \boxed{\lim_{x \to 2^-} g(x) = 3}  “O limite de g(x) quando x tende pela esquerda de 2 é igual a 3”

b)\boxed{\lim_{x \to 2^+} g(x) = 1}  “O limite de g(x) quando x tende pela direita de 2 é igual a 1”

c) Veja que pela definição 3, concluímos que o limite de x tendendo a 2 não existe. Pois:

\boxed{\lim_{x \to 2^+} g(x) = 1 \neq \lim_{x \to 2^-} g(x) = 3}

\boxed{lim_{x \to 2} g(x) = \not\exists}  

d) \boxed{\lim_{x \to 5^+} g(x) = 2}

e) \boxed{\lim_{x \to 5^-} g(x) = 2}

f) \boxed{\lim_{x \to 5^+} g(x) = 2 = \lim_{x \to 5^-} g(x) = 2}, portanto \boxed{lim_{x \to 5} g(x) = 2}

Independente se g(5) = 1 !!! Estamos falando de valores no limite e não efetivamente de x = 5 !!  

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