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O campo elétrico dado no enunciado está expressa na forma complexa. Para consegui-los passar para o domínio instantâneo (ou seja, em função do tempo) é necessário utilizar os seguintes passos:

1. Multiplica-se o fasor por e^{i\omega t}
2. Fazer expansão utilizando a lei de Euler, onde: e^{i\theta} = cos(\theta) + i.sen(\theta)
3. Se o fasor inicial (E ou H) for em cosseno – selecionar parte real e descartar imaginário, caso E ou H for seno – selecionar parte imaginária e descartar parte real.

No caso do exercício 5, E depende da função trigonométrica cosseno, portanto no passo (3) vamos selecionar a parte real.

Portanto:

\vec{E} = (10\hat{x} + i20\hat{y}).e^{-ikz}  V/m

Seguindo o passo (1), temos:

\vec{E} = (10\hat{x} + i20\hat{y}).e^{-ikz}.e^{i\omega t}  V/m

A partir da propriedade de potência temos que a^x * a^y = a^{x+y} de modo que podemos aplicar com o exponencial natural da equação acima, ficando da seguinte maneira:

\vec{e}(t) = Re{(10\hat{x} + i20\hat{y}).e^{-ikz + i\omega t}}  V/m

\vec{e} (t) = Re(10\hat{x} + i20\hat{y}).e^{i(\omega t – kz)}   V/m

Pelo passo (2) vamos aplicar a lei de Euler, e no caso acima temos que \theta = \omega t – kz, Assim:

e^{i(\omega t – kz)} = cos(\omega t – kz) + i.sen(\omega t – kz)

Assim vamos substituir a equação acima em nossa equação do campo elétrico, de modo que fica da seguinte forma:

\vec{e} = Re{(10\hat{x} + i20\hat{y}).[cos(\omega t – kz) + i.sen(\omega t – kz)]}  V/m

\vec{e} = Re[10\hat{x}.cos(\omega t – kz) +  10\hat{x}.i.sen(\omega t – kz) + i.20\hat{y}.cos(\omega t – kz) + i^2 .20\hat{y}.sen(\omega t – kz))]

Vamos agora no passo (3) descartar a parte imaginária, uma vez que temos um cosseno na expressão.

Lembre-se que i² = -1. Portanto temos:

\vec{e} = Re[10\hat{x}.cos(\omega t – kz) +  \cancel{10\hat{x}.i.sen(\omega t – kz)} + \cancel{i.20\hat{y}.cos(\omega t – kz)} – 20\hat{y}.sen(\omega t – kz))]

Sobrando somente o que:

\boxed{\vec{e} = 10.cos(\omega t – kz).\hat{x}  –  20.sen(\omega t – kz).\hat{y}}