As medidas de dispersão são cálculos complementares à análise de dados.

Vimos já com uma forma de análise, vimos em Medidas Descritivas de Posição que podemos definir como um conjunto de dados é concentrado com o uso do cálculo da Média Aritmética por exemplo.

Esses cálculos são muito importantes para a análise estatística de um conjunto de observações. Por outro lado, seria ineficaz analisar a concentração de valores das observações se houver padrões não lineares e com muita variança e/ ou dispersões.

Em outras palavras, as medidas descritivas de posição oculta a informação de como esse gráfico varia e como os pontos se dispersam em relação a um referencial.

As medidas de dispersão nos fornece como os dados variam em relação as medidas de posição, por isso, essa relação de complementariedade entre a posição e a dispersão no comportamento dos dados.

São algumas Medidas de Dispersão: Amplitude, Variança, Desvio Padrão, Intervalo Interquartil e o Coeficiente de Variação.

O que você precisa saber para ler esse artigo:

• Estatística Descritiva
• Medidas Descritivas

Cálculo da Amplitude

Amplitude com Variáveis Discretas:

A amplitude de um conjunto de valores é dado pelo diferença entre o maior valor e o menor valor;

A = Q_{maior} - Q_{menor}

Onde:

Considerando um grupo de alunos com as seguintes notas e suas médias, temos:

Amplitude com Variáveis Contínuas:

Quando as variáveis são contínuas o cálculo da amplitude torna-se diferente;

Devemos calcular o ponto médio dos salários e assim calcula-se a amplitude geral com o maior ponto médio menos o menor ponto médio.

A = PM_{maior} - PM_{menor}

Onde:

PM_{maior} \to  \text{Maior valor médio da coluna Salários}

PM_{menor} \to  \text{Menor valor médio da coluna Salários}

A amplitude é dado portanto por A = 11 – 3 = 8

Desvio Médio Simples

Vejamos outro cálculo de variáveis de dispersão chamada de desvio médio simples.

Imaginemos um gráfico com vários pontos com seus valores no qual a média aritmética também é traçada.

Vejamos que média pode representar uma linha de concentração dos pontos, porém não omite como os pontos variam em relação à média

O desvio médio representa o quanto os pontos variam em relação à média aritmética.

• Desvio médio com valores altos – representam maior dispersão dos pontos pretos representados e distâncias maiores da média;

• Devio médio com valores baixos – representam caminhos mais uniformes e mais próximos da média;

DMS = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2}

\sigma \text{ representa o desvio padrão.} \\

N \text{ é o número de observações no conjunto de dados.} \\

x_i \text{ são os valores individuais no conjunto de dados.}\\

\bar{x} \text{ é a média dos valores no conjunto de dados.}\\

 x_i \text{ e a média } \bar{x} \text{ ao longo de todas as observações.}

Desvio médio Simples – Variável Discreta

Para variáveis discretas calculamos utilizando a seguinte fórmula:

DMS = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} |x_i - \bar{x}|

Considerando a frequência relativa fi temos:

DMS = \sum_{i=1}^{N} |x_i - \mu| \cdot f_i

\text{DMS representa o Desvio Médio Simples.} \\
\text{N é o número de observações no conjunto de dados discreto. }\\ 
x_i \text{ são os valores individuais no conjunto de dados.} \\ 
\bar{x} \text{ é a média dos valores no conjunto de dados.} \\ 
 \\

Desvio médio Simples – Variável Continua

\sigma = \sqrt{\int (x - \mu)^2 \cdot f(x) \, dx}

Cálculos com Dispersão de Pontos em torno da Média:

Variança : Variáveis Discretas (Dispersão)

s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2

s^2  \text{ representa a variância amostral.} \\ [10px]
n \text{ é o tamanho da amostra.}\\ [10px]
x_i \text{ são os valores individuais na amostra.} \\ [10px]
\bar{x} \text{ é a média dos valores na amostra.}

Variança: Variáveis Contínuas (Dispersão)

s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2

s^2  \text{ representa a variância amostral.} \\ [10px]
n \text{ é o tamanho da amostra.}\\ [10px]
x_i \text{ são os valores individuais na amostra.} \\ [10px]
\bar{x} \text{ é a média dos valores na amostra.}

Dispersão – Desvio Padrão: Variável Discreta

s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}

Dispersão – Desvio Padrão: Variável Contínua

s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}

Coeficiente de Variança:

Coef = \left(\frac{s}{\bar{x}}\right).100\%

Scores Z:

Z = \frac{x-\bar{x}}{s}