Recomenda-se que você já tenha os seguintes conhecimentos:
Introdução a Derivação Logarítimica:
Muitas funções são extremamente complexas para derivar. Mesmo que possa ser resolvido, requer um volumoso trabalho algébrico para obter a derivada dessas determinadas funções. Exemplo:
1) Derive a seguinte função:
g(x) = \frac{(2x^2+3)^4}{x^3(x+1)^2}Veja o tamanho do trabalho… Olha, se você quiser resolver isso no braço, eu te apoio! Pois sua prática com derivadas será muito bem aplicada.
Mas agora, e se quisermos encontrar outras formas de resolver esse problema?
Nós podemos! E vamos. Nesse artigo vou ensina-los a utilizar as propriedades da função logarítmica para mudar a função que inicialmente é complexa. E depois aplicar a derivação logarítmica para determinar a derivada do problema inicialmente proposto.
Propriedades dos Logarítmos:
A propriedade dos logaritmos que transforma potências e produtos em somas e subtrações é baseada nas regras fundamentais dos logaritmos. Essas regras são úteis para simplificar expressões logarítmicas, especialmente em cálculos como a derivação logarítmica que discutimos.
Essas propriedades derivam diretamente das leis dos expoentes, já que os logaritmos estão intimamente ligados ao conceito de potências. O logaritmo de base b de um número x nos dá o expoente y que, quando aplicado a b, resulta em x (ou seja, b^y = x).
Portanto:
- Logaritmo de um produto: Multiplicar dois números na base b é o mesmo que adicionar seus expoentes.
- Logaritmo de uma potência: Elevar uma potência a um expoente é o mesmo que multiplicar os expoentes.
- Logaritmo de um quociente: Dividir dois números na base b é o mesmo que subtrair seus expoentes.
Essas propriedades são extremamente úteis para simplificar expressões, especialmente em cálculos de derivadas, onde multiplicações e divisões podem ser transformadas em somas e subtrações, facilitando a manipulação algébrica.
1. Logaritmo de um produto:
Veja que um parcela se transformou em uma soma.
ln(ab)=ln(a)+ln(b)
2. Logaritmo de uma potência:
Veja que a potência vira um produto.
ln(a^b) = b \ln(a)
3. Logaritmo de um quociente:
Veja que uma divisão de parâmetros torna-se uma subtração.
ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)Transformação de uma expressão para Logarítmo e suas propriedades:
Agora vamos para prática. Vamos transformar a equação inicialmente dificil lá em cima, e vamos aplicar as propriedades dos logarítmos na equação. Mas para isso temos que operar o logarítmo em ambos os lados da equação.
Esse é o primeiro passo. Pois antes, como iriamos fazer um derivação logarítmica, sem a função logarítmo na equação?
Utilizaremos o logarítmo natural. Definimos o logarítmo natural como o logarítmo que está na base e (constante de euler) aproximadamente 2,71828.
ln(x) = log_e(x)
Desse modo. A equação inicial é:
g(x) = \frac{(2x^2+3)^4}{x^3(x+1)^2}Aplicamos a função logarítmica de ambos os lados da equação.
ln(g(x)) = ln\color{blue}\left(\frac{(2x^2+3)^4}{x^3(x+1)^2}\right)Aplica-se a propriedade do quociente:
ln(g(x)) = ln(2x^2+3)^4 - {\color{green}{ln(x^3(x+1)^2}})Aplica-se propriedade do produto na parcela em verde. Em cinza aplica-se a regra da potência.
ln(g(x)) = 4.ln(2x^2+3)-ln(x^3) +ln(x+1)^2
Sugiro que você continue manipulando até simplificar ao máximo a equação. Vai sozinho meu amigo e depois pode conferir aqui.
\boxed{ln(g(x)) = 4.ln(2x^2+3) -3.ln(x) + 2.ln(x+1)}Agora que a equação está alterada. Vamos derivar a função. E qual é a derivada de ln?
\frac{d}{dx}(ln(x)) = \frac{1}{x}Vamos aplicar a derivação implícita na equação no próximo tópico.
Passo a passo para derivação Logarítmica
Essas regras estão no livro james stwert, Edição 7.
- Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação y = f(x) e use as
Propriedades dos Logaritmos para simplificar. - Derive implicitamente em relação a x.
- Isole y’ na equação resultante.
Derivação Logarítmica
Para aplicar a derivação logarítmica, na maioria dos casos, é necessário conhecer todas as técnicas básicas de derivação. Então caso você esteja um pouco confuso quanto à isso, convido você ir no curso de cálculo 1 do BreaktheScience e revisar os tópicos que está precisando de reforço!
Aplicando a derivação implícita:
[ln(g(x))]' = 4.[ln(2x^2+3)]' -3.[ln(x)]' + 2.[ln(x+1)]'
\frac{1}{g(x)}.{\color{green}{g'(x)}} = \frac{4}{2x^2+3}(2x^2+3)' + \frac{2}{x+1}(x+1)'Isolando y’:
g'(x) = g(x)\left( \frac{8x}{2x^2+3} + \frac{2}{x+1} \right)Lembrando que g(x) é:
g(x) = \frac{(2x^2+3)^4}{x^3(x+1)^2}\boxed{g'(x) = \frac{(2x^2+3)^4}{x^3(x+1)^2}\times\left( \frac{8x}{2x^2+3} + \frac{2}{x+1} \right)}Por fim vou parar aqui na questão algébrica. E conseguimos calcular a derivada de uma função complexa em etapas bem mais rápidas e menos trabalhosas do que geraria normalmente.
Exercício 1: ² Derive y = x^{\sqrt{x}}
Passo 1: Aplicando ln na equação
ln(y) = ln(x^{\sqrt{x}})Pela propriedade da potência dos logarítmos:
ln(y) = \sqrt{x}.ln(x)Passo 2: Derivar implicitamente a equação
[ln(y)]' = [\sqrt{x}.ln(x)]'Pela regra do produto na derivada ao lado direito da equação:
\frac{1}{y}(y') = (\sqrt{x})'.ln(x) + [ln(x)]'.\sqrt{x} \frac{1}{y}(y') = \frac{1}{2}x^{-1/2}.ln(x) +\frac{1}{x}.x^{1/2}Passo 3: Isolando y’ e ajeitando algebricamente o restante da equação
y' = y\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}ln(x) + x^{-1/2}\right)Deixando em evidência, para ficar com mais charme:
y' = y\left(x^{-1/2}\left(\frac{1}{2}ln(x) + 1\right)\right)Substituindo a função no lugar de y:
\boxed{y' = x^{\sqrt{x}}\left(x^{-1/2}\left(\frac{1}{2}ln(x) + 1\right)\right)}Lembre-se dos comportamentos das derivadas no sentido geométrico. Veja o gráfico² abaixo:
Outros sites:
https://www.somatematica.com.br/superior/logexp/
Referências
- Guidorizzi, H. L., Um curso de Cálculo, V. 1, Livros Técnicos e Científicos Ed. Ltda, 5 a edição (2001).
- STEWART, James. Cálculo, Volume 1. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.