A Regra da Cadeia é um conceito fundamental no cálculo diferencial, permitindo a derivada de funções compostas.

Este artigo fornece uma visão abrangente e aprofundada sobre a Regra da Cadeia, desde sua definição básica até aplicações práticas.

Usaremos exemplos, dicas e soluções passo a passo para ilustrar como aplicar este princípio essencial do cálculo.

O que é a Regra da Cadeia?

A Regra da Cadeia é uma técnica utilizada para calcular a derivada de uma função composta. Em termos simples, uma função composta ocorre quando uma função é aplicada dentro de outra função, como f(g(x)) .

A Regra da Cadeia nos diz como derivar essa composição de funções de maneira eficiente e correta.

Passo a Passo da Regra da Cadeia

Passo 1: Identificação das Funções

O primeiro passo ao aplicar a Regra da Cadeia é identificar as funções individuais que compõem a função maior. Por exemplo, em f(g(x)), f e g são as funções individuais. Identificar corretamente essas funções é crucial para aplicar a regra com sucesso.

Passo 2: Derivação Individual das Funções

Após identificar as funções, o próximo passo é derivar cada uma delas separadamente. Por exemplo, se f(u) = u^2 e g(x) = 5x + 3, então suas derivadas são:

f´(u) = 2u

g'(x) = 5

Passo 3: Aplicação da Fórmula da Regra da Cadeia

Finalmente, substituímos as derivadas individuais na fórmula da Regra da Cadeia:

\frac{d}{dx}(f(g(x)) = f'(g(x)) . g'(x)

Muitas obras como do James Stwert Vol. 1 e Guidorizzi Vol. 1, utilizam a definição da regra da cadeia a partir da notação de Leibniz, dado na fórmula abaixo:

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

Não esquenta! Na prática é muito mais simples do que você imagina!

Vamos analisar alguns exemplos para ilustrar como a Regra da Cadeia é aplicada.

Exemplos Resolvidos Usando a Regra da Cadeia

1) Seja F(x) = (3.x^2 + 2)^4, calcule a derivada dessa função.

Vamos inicialmente identificar as composição de funções retratadas nesse exemplo.

A função de ‘dentro’ é:

g(x) = 3x^2 + 2

Onde u = g(x).

Derivando g(x), temos:

g'(x) = 6x

Substituindo g(x) para u em F(x) proposto no exercício inicial, teremos:

F(u) = u^4

Desse modo a sua derivada é dada por:

F'(u) = 4u^3

Já que g(x) = u, podemos representar a fórmula acima de outro modo:

F'(g(x)) = 4.(3x^2+2)^3

Agora que identificamos cada função e derivamos cada uma delas, podemos aplicar a fórmula da regra da cadeia.

\frac{d}{dx}(f(g(x)) = f'(g(x)) . g'(x)

F'(x) = 4.(3x^2+2)^3.(6x)

Resposta:

\boxed{F'(x) = 24x.(3x^2+2)^3}

2) Seja F(x) = \sqrt{sen(x)}, calcule a derivada dessa função.

Temos uma função raiz quadrada e uma função trigonométrica seno.

A parte de dentro da função é sen(x) que é g(x).

g(x) = sen(x)

A derivada de sen(x) é cos(x):

\frac{d}{dx}sen(x)=cos(x)

Consideramos g(x) = sen(x) = u. Uma substituição de variável. Desse modo:

F(u) = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}

Sua derivada é dada por:

F'(u) = \frac{1}{2}u^{(-\frac{1}{2})} = \frac{1}{2\sqrt{u}}. 

Agora que identificamos cada função e derivamos cada uma delas, podemos aplicar a fórmula da regra da cadeia.

\frac{d}{dx}(f(g(x)) = f'(g(x)) . g'(x)

F'(g(x)) = \frac{1}{2}[sen(x)]^{(-\frac{1}{2})} = \frac{1}{2\sqrt{sen(x)}}. cos(x)

Resultado:

\boxed{F'(g(x))=\frac{cos(x)}{2\sqrt{sen(x)}}}

3) Calcule a derivada da função F(x) = ln(sen(x^2)). Use a regra da cadeia para facilitar o processo de derivação.

A função f(x) do exercício 3 é um mais elaborada que os últimos dois exemplos resolvidos. F(x) nesse caso tem um composição dentro de uma composição de funções.

O processo de identificação das funções são de dentro para fora.

F(x) = \color{blue}ln \color{red}(sen\color{green}(x^2))

De forma genérica, poderiamos dizer que:

F(x) = f(g(h(x)))

Seguem os cálculos:

u = x^2 

 \frac{du}{dx} = 2x

Agora substituimos para a função u dentro da função seno. Vamos chamar essa função de w.

sen(x^2) =sen(u) = w

E sua derivada é dada por:

\frac{dw}{du} = cos(u)

E finalmente temos, a função mais externa que pode ser representada como ln(w) e sua derivada:

\frac{d}{dw}[ln(w)] = \frac{1}{w}

Agora basta multiplicar todas as derivadas de cada função composta identificada:

\frac{d}{dx}F(x) = \frac{1}{w} \cdot cos(u) \cdot 2x 

Porém definimos anteriormente quem é u e quem é w. Podemos, retransforma-las em função de x.

\frac{d}{dx}F(x) = \frac{1}{sen(x^2)} \cdot cos(x^2) \cdot 2x 

Resposta:

A partir das transformações e identidade trignométricas sabemos que cos(x^2)/sen(x^2) = cotan(x^2). Assim:

\boxed{\frac{d}{dx}ln(sen(x^2)) = 2x \cdot cotg(x^2)}

Estes exemplos demonstram a aplicação prática da Regra da Cadeia em diferentes situações.

Para ver mais exercícios em vídeo siga nosso canal no youtube:

Dicas e Erros Comuns

• Dica 1: Sempre verifique se a função é realmente composta antes de aplicar a Regra da Cadeia.
• Erro Comum: Não esquecer de multiplicar pela derivada da função interna ao final do processo.

Aplicações Práticas da Regra da Cadeia

A Regra da Cadeia é amplamente utilizada em várias áreas da matemática e da física, como ao calcular a taxa de variação em problemas de movimento ou ao encontrar a derivada de funções logarítmicas e exponenciais.

A regra de cadeia é uma álgebra útil para modelo matemático de uma situação real que resultaria em uma composição de funções.

Conclusão

A Regra da Cadeia é uma ferramenta poderosa no cálculo diferencial, essencial para entender como as funções compostas mudam. Com a prática, o uso desta regra se torna uma segunda natureza, abrindo caminho para a resolução de problemas mais complexos e interessantes no campo do cálculo.