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Agora apresentarei dois conceitos muito importantes, registre muito bem o teorema do confronto, além de ser um teorema muuuuuito importante, também é muito provável que caia nas suas provas.
Teorema 1: Se f(x) \leq g(x) quando x está proximo de a, mas não efetivamente em a, e ambos os limites existem quando x \to a, temos a seguinte relação:
\boxed{lim_{x \to a}f(x) \leq lim_{x \to a}g(x)}
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Teorema do Confronto ou Teorema do Sanduiche:
Se f(x) \leq g(x) \leq h(x) quando x está proximo de a, mas não efetivamente em a.
Se lim_{x \to a}f(x) = lim_{x \to a}h(x) = L
Então, o limite de g(x):
\boxed{lim_{x \to a}{g(x)} = L}
Em outras palavras, se uma função tem um valor entre outras duas funções, e se os limites dessas outras duas funções convergir para um determinado valor L, podemos afirmar que a função que está nesse intermediário também vale L!!! Eles são espremidas como um sanduiche, por isso teorema do sanduiche, ou melhor, a função intermediária é confrontada pelos valores acima e abaixo dela mesma com um valor L, o que se explica teorema do confronto.
Vejamos um gráfico das 3 funções:
Exemplo Resolvido: Mostre que lim_{x \to 0}[{x^2*[sen{\frac{1}{x}}]] = 0}
Se utilizarmos a propriedade do produto de limites veriamos que:
(lim_{x \to 0}x^2)*lim_{x \to 0}sen{\frac{1}{x}}Porém o limite em seno com seu ângulo dividido por 0 não existe. Portanto temos que apelar para o teorema do confronto.
Inicialmente vamos analisar os valores de seno:
Sabemos que sen(x) varia entre [-1,+1]; Na verdade independente do que estiver dentro dos parentesis em seno sempre vai variar entre [-1, +1] Portanto:
-1 \leq sen{\frac{1}{x}} \leq +1
Multiplicando todos os lados por x² temos:
-x^2 \leq x^2*sen{\frac{1}{x}} \leq x^2
Se tirarmos os limites dos valores do lado esquerdo e direito da inequação temos:
lim_{x \to 0}{(-x^2)} \leq lim_{x \to 0} (x^2*sen{\frac{1}{x}}) \leq lim_{x \to 0}{(x^2)}
Portanto:
0 \leq lim_{x \to 0}(x^2*sen{\frac{1}{x}}) \leq 0
Chegamos ao teorema do confronto! Ou seja se os limites existem e tendem ao valor L, nesse caso vale 0, temos que o limite do meio também vale 0.
Assim concluimos que:
\boxed{lim_{x \to 0}(x^2*sen{\frac{1}{x}}) = 0}