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Limites no Infinito

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Limites no infinito

Introdução:

Vão haver momentos que os limites que calcularemos irão tender ao infinito. Vimos na seção anterior assim como na aula do problema da tangente que o limite é a representação de valores do domínio chegando extremamente perto de um determinado x, onde farão um valor da imagem y tender a outro valor.

Caros alunos, fiquem com uma coisa em mente. Infinito não é um número! É somente a representação de um valor extremamente alto, ou seja, um valor suficientemente alto para receber a “representividade”de infinito. Um valor nunca é infinito! Mas tende ao infinito!

Começando com um Exemplo:

   Assim como nas partes passadas, iniciaremos o assunto com um exemplo, assim podemos idealizar melhor o conceito de limites no infinito. Porém fica como um prefacio que temos uma função f(x), que quando x tende a um valor a, a função tende ir a mais ou menos infinito. Vejamos um exemplo:

lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty

Assim como fizemos todos os exemplos, vamos analisar um tabela de valores de x e f(x) e o gráfico da função e depois vamos tirar nossas conclusões:

CILimites15
CILimites16
Figura 5: Gráfico da função f(x) dada em questão.

Observe primeiramente os valores de x, cada vez que os valores de x mais se aproximam de 0, mais o valor de f(x) se aproxima de um número muito muito grande! Denotamos então que  f(x) -> ∞

Vejamos:

f(\pm 1) = \frac{1}{(\pm 1)^2} = 1 f(\pm 0,5) = \frac{1}{(\pm 0,5)^2} = 4 f(\pm 0,20) = \frac{1}{(\pm 0,20)^2} =  25

Vemos que cada vez que x \to 0, mais f(x) \to \infty

A simbologia do infinito apenas significa que podemos deixar o valor de f(x) tão grande ou melhor, suficientemente grande, a medida que os valores de x vão se aproximando de 0.

Quando x \to 0,0000000001,   temos   algo   como   f(x) \to 100000000000000000000!

Denotamos então como:

lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty

Agora vamos definir os limites no infinito de forma mais formal:

Definição 4:

Seja f definido em ambos os lados de a, exceto possivelmente igual a a, denotamos:

lim_{x \to a}{f(x)}  =  \infty

​Significa que podemos deixar os valores de f(x) arbitrariamente grandes a medida que aproximamos valores de x=a, mas não igual a a.

    Do mesmo jeito que:

lim_{x \to a}{f(x)}  =  – \infty

Significa que podemos deixar os valores de f(x) arbitrariamente grandes, porém negativos, ao tornar x suficientemente perto de a, mas não a.

Assíntotas Verticais, quando x tende a a e f tende ao infinito
Figura 5: Quando x tende a a, f(x) tende ao infinito.

Podemos dizer:

  • “O limite de f(x) quando x tende a a, é infinito.”
  • “f(x) se torna infinito, quando x tente a a.
  • “f(x) cresce ilimitadamente quando x tende a a.

Definição de limite no infinito para limites laterais:

Vimos anteriormente, que o limite de uma função f(x) pode tender a um número suficientemente grande, que damos como termo o infinito. Essa definição funciona para os limites laterais, ou seja, caso o limite estiver se aproximando pela esquerda ou pela direita, e ainda sim tendem a mais ou menos infinito. Veja os exemplos:

CILimites21
Fig 6. A reta a nunca encosta na curva y. É uma assintota vertical de y.

Definição 5:

A reta x = a é chamada de assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das condições abaixo serem satisfeitas:

1     lim_{x \to a}{f(x)}  =  \infty

3. lim_{x \to a^- }{f(x)}  =  \infty

5. lim_{x \to a^+}{f(x)}  =  \infty

2.     lim_{x \to a}{f(x)}  =  -\infty

4. lim_{x \to a^-}{f(x)}  =  -\infty

6. lim_{x \to a^+}{f(x)}  =  -\infty

Observe a reta x=a nos gráficos acima, chamada de assíntota vertical, uma vez que x=a está na vertical!

Exercícios resolvidos:

Exemplo 1: Identifique qual valor do limite é negativo e qual é positivo.

a.  lim_{x \to 3^+}{(x – 3)}

b.  lim_{x \to 2^-}\frac{10}{x-2}

c.    lim_{x \to 2^-}\frac{10}{2-x}

Solução:

Análise primária: Vemos que quando falamos de 3^+    estamos nos referindo a valores muito próximos mas maiores do que 3

No mesmo racicínio, 2^- são valores muito próximos de 2, porém menores do que 2.

Assim, vamos aos exercícios:

a) Substituindo 3^+ em x, temos que:

(3^+ –  3) < 0 lim_{x \to 3^+}{(x – 3)}    é  negativo!

b) no denominador: 2^- –  2 < 0 , assim:

lim_{x \to 2^-}\frac{10  (+)}{x-2  (-)} e

sabemos que positivo com negativo é negativo em uma divisão!

c) no denominador: 2^+ –  2 > 0 , assim:

lim_{x \to 2^+}\frac{10  (+)}{x-2  (+)} e

sabemos que positivo com positivo é positivo em uma divisão!

Exemplo 2: Calcule lim_{x \to 3^+}{\frac{2x}{x-3}} e lim_{x \to 3^-}{\frac{2x}{x-3}}:

Vimos que um limite de um valor dividido por zero tende para mais ou menos infinito! Vamos ver agora como funciona esses dois limites:

3^-  –  3  =  0^- (um valor que se aproxima de 0 e menor do que zero, isto é, negativo)

3^+  –  3  =  0^+ (um valor que se aproxima de 0 e maior do que zero, isto é, positivo)

Poranto conclui-se que:

\boxed{lim_{x \to 3^-}{\frac{2x }{x-3}} = \frac{2*(3^-)  (+)}{0^-   (-) }  =  -\infty}

\boxed{lim_{x \to 3^+}{\frac{2x }{x-3}} = \frac{2*(3^+)  (+)}{0^+  (+) }  =  +\infty}

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