Existência de um Limite

Um limite pode existir ou não. A condição de existência de um limite está em sua continuidade, seu domínio e sua imagem.

Nessa aula vamos analisar e entender como funciona cada uma dessas condições no qual será de extrema importância!

Quando estamos falando de limites, podemos fazer 3 cálculos:

Limite lateral tendendo pela esquerda; ( $lim_{x \to a^-}{f(x)}$ )
Limite lateral tendendo pela direita; ( $lim_{x \to a^+}{f(x)}$ )
Limite Bilateral; ( $lim_{x \to a}{f(x)}$ )

É ai que entra o grande negócio! Pois para a existência do limite bilateral é necessário que tanto o limite lateral esquerda e o limite lateral direita devem possuir o mesmo valor. Matematicamente expressamos da seguinte forma:

$lim_{x \to a}{(f(x))} = L, se somente, e se: \boxed{lim_{x \to a^+}{(f(x))} = lim_{x \to a^-}{(f(x))} = L}$

Portanto, muitas vezes que seu professor, ou você que estiver estudando quiser verificar a existência de um limite, será necessário calcular os limites laterais daquela função em um determinado ponto.

Exemplo 1: Mostre que $lim_{x \to 0}|x| = 0$

Vamos lembrar da função modular! É importantíssimo sabermos como funciona esse tipo de função.

Uma função modular sempre retorna um valor positivo!

Portanto temos:

|x|  =\begin{cases}x,\text{ se } x \geq 0  \\ -x, \text{ se } x  <  0 \end{cases}

O gráfico de módulo de x é que nem um bico de pato! Vejamos:

Já que queremos o $lim_{x \to 0}{|x|}$ devemos estudar o limite dessa função quando $x \to 0^+ e x \to 0^-$ .

Lembremos novamente que:

$x \to 0^+ > 0$ , entrando na condição número 1 de |x|; Ou seja, |x| = x. Portanto calculando seu limite:

$\boxed{lim_{x \to 0^+}{x} = 0}$

$x \to 0^- > 0$ , entrando na condição número 2 de |x|; Ou seja, |x| = -x. Portanto calculando seu limite:

$\boxed{lim_{x \to 0^-}{(-x)} = 0}$

Concluímos que os limites laterais são iguais! E valem 0. Portanto o limite existe e ele vale 0. Matematicamente:

$\boxed{lim_{x \to 0}{|x|} = 0}$

Satisfazendo então, a condição de existência de um limite

Exemplo 2: Mostre que $lim_{x \to 0}{\frac{|x|}{x} não existe:}$

Estudemos novamente a função modular, só que agora dividida por um determinado x!

Novamente temos que:

|x|  =\begin{cases}x,\text{ se } x \geq 0  \\ -x, \text{ se } x  <  0 \end{cases}

$x \to 0^+ > 0$ , entrando na condição número 1 de |x|; Ou seja, |x| = x. Portanto calculando seu limite:

$\boxed{lim_{x \to 0^+}{\frac{x}{x}} = 1}$

$x \to 0^- > 0$ , entrando na condição número 2 de |x|; Ou seja, |x| = -x. Portanto calculando seu limite:

\boxed{lim_{x \to 0^-}{\frac{(-x)}{x}} = -1}

Veja que qualquer coisa pode mudar na matemática! Uma divisão por x, faz o limite não existir!!

vejamos que os limites laterais são diferentes, não aceitando a condição de existência do limite. Portanto:

$\boxed{lim_{x \to 0^-}{\frac{(|x|)}{x}} \ne lim_{x \to 0^+}{\frac{(|x|)}{x}}}$

O limite não existe!!!!