Introdução:

A derivação implícita é uma técnica utilizada para derivar funções onde a variável dependente não está isolada explicitamente.

Podemos utilizar a derivação implícita para a derivação de funções trigonométricas inversas.

São exemplos funções trigonométricas inversas:

Então nesse artigo vamos aprender a derivar funções trigonométricas inversas utilizando a derivação implícita.

Não há muito o que se aprofundar em teoria nesse artigo. Vamos direto para prática.

Relações Trigonométricas importantes:

Outra definição importantíssima é você saber que a função trigonométrica com seu ângulo como a função inversa dela mesma resulta o ângulo da inversa como resposta. Calma. Olhe um exemplo abaixo:

sen({\color{blue}{sen^{-1}(x)}}) = x

A função seno inverso tem um parâmetro (x). A função ‘normal’ seno tem seno inverso de x como ângulo. Esse formato resulta o valor dentro da inversa de seno. E assim é o mesmo para qualquer outra função trigonométrica: Cosseno, tangente, cotangente, cossecante, e etc.

Vejamos:

cos({\color{blue}{cos^{-1}(kkk)}}) = kkk

tan({\color{blue}{tan^{-1}(m)}}) = m

Derivação de Funções Trigonométricas Inversas:

Exercícios Resolvidos:

1) Derive y = sen^{-1}(x):

Passo 1: Vamos calcular o seno de ambos os lados da equação.

sen(y) = sen(sen^{-1}(x)) 

Já sabemos do exemplo lá em cima que:

sen(y) = x

Passo 2: Derivar implicitamente a função. Ou seja: Derivar a equação.

[sen(y)]' = x'

Passo 3: Regra da cadeia para explicitar y’.

cos(y)y' = 1

Passo 4: Isolar y’

y' = \frac{1}{cos(y)}

Da relação fundamental da trigonometria. E sabemos que sen(y) = x lá no começo do exercício.

cos(y) = \sqrt{1-sen^2(y)} = \sqrt{1-x^2}

Portanto a derivada da função inversa de seno é:

\boxed{y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}

2) Derive y = cos^{-1}(x):

Agora vou fazer sem explicar cada passo a passo hein? Convido você tentar resolver os próximos exemplos sozinho e depois pode voltar conferir aqui.

cos(y) = cos(cos^{-1}(x))

cos(y) = x

[cos(y)]' = x'

-sen(y)y' = 1

y' = -\frac{1}{sen(y)}

\boxed{y' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}

3) Derive y = arctan(x):

tan(arctan(x)) = tan(y)

tan(y) = x

[tan(y)]' = x'

sec^2(y)y' = 1

y' = \frac{1}{sec^2(y)}

Sabendo que:

1 + tan^2(y) = sec^2(y)

e que tan(y) = x.

\therefore \boxed{y' = \frac{1}{1+x^2}}

Exercício Proposto: Veja a tabela de derivadas e mostre algebricamente como chegar ao valor final mostrado abaixo.