Integrais Duplas: Áreas De Superfícies

1. Introdução:

Podemos usar integrais duplas para calcula a área de dada uma superfície z = f(x,y). Usaremos para definir tal área o recurso de Geometria Analítica – que é o produto vetorial – Pois o seu módulo é a área do paralelogramo gerado por dois vetores.

2. Definindo a área de uma superfície:

Seja S uma superfície no qual é dado por z = f(x,y), onde f possui derivadas parciais contínuas. Vamos inicialmente considerar que z = f(x,y) está definida em um domínio retangular.

Assim como a maioria dos métodos anteriores para calcularmos volumes e áreas, vamos subdividir o domínio retangular em vários mini retângulos. Ou seja partiremos o valor de x em m partes iguais e o valor de y em n partes iguais. dizemos então que a base do retângulo é dado por Δx e a altura do retângulo como Δy.

A cada sub-retângulo caso subirmos pelo eixo z, será definido mini-superfícies, refletido pela divisão retângular dada anteriormente. Vamos considerar o vértice do canto superior esquerdo como o ponto (x_i , y_j) sabendo então que caso subirmos f(x_i , y_j) em direção a k (Oz) será dado o ponto da superfície refletido de (x_i , y_j). Logo esse ponto pertence a superfície e é localizado em (x_i , y_j, f(x_i , y_j)). Veja a figura abaixo:

Veja que a partir de dois vetores direcionais no ponto P_ij, é formado um plano tangente a esse ponto. Vamos chamar esse plano tangente de ΔT_ij, a área desse plano é aproxidamente a área da sub-superfícies (Definido anteriormente pelo sub-retângulo.) Então para cada ponto da superfície P_ij podemos ter valores de planos ΔT_ij que se aproximam dos valores de ΔS_ij.

Vamos chamar os vetores que formar o plano tangente ao ponto P_ij de a e b , no qual a forma um vetor ao longo de i e k, e b um vetor no qual forma a combinação de j e k.

Agora vamos definir o vetor a e b e relembrar que o módulo do produto vetorial de a e b é a área ΔT_ij dizemos matematicamente ||a x b|| = Área do Paralelogramo. Definimos então:

É razoável pensarmos que se a sub-área de superfície é muito próximo |a x b|, então a Área dessa superfície pode ser descrita pela soma de mxn ΔT_ij. Logo pela soma de Riemann:

Pela definição de Integrais duplas, podemos então expressar a Área da superfície como:

Podemos expressar as derivadas de outra forma:

Exemplos Resolvidos:

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