1. Introdução:
As integrais duplas podem ficar muito difíceis quando estamos resolvendo da forma de uma integral dupla retangular. Por isso como na aula passada vimos, podemos mudar suas coordenadas, assim estamos mudando toda sua base, sua função e seus limites integrantes. Usando essas técnicas com efetividade podemos transforma-la em uma integral mais fácil de ser resolvida.
As coordenadas polares são variáveis que descrevem uma circunferência ou parte dela, então tal transformação nos favorece a resolver integrais no qual são definidas por setores circulares. Então para resolvermos essas integrais, geralmente o domínio da função deve ser dessa forma ou se comportar de forma parecida;
2. Descrição das Integrais Duplas sobre Coordenadas Polares:
θ: É o ângulo entre a reta r e o eixo Ox. Esse ângulo varia de ponto a ponto.
Podemos calcular R pelo Teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2
E pelas relações Trigonométricas: x = r.cosθ ; y = r.senθ
Nunca se esqueça que a integral dupla surgiu primordialmente para resolver volumes de sólidos. Portanto o Volume geral de um sólido é dado por definição V = Ab.H (Área da base vezes a altura).
- A área da base: Se em uma integral dupla retangular representa o volume total desse sólido, na verdade, esse volume é a somatória de muitos sub-volumes dados por Vij = f(x,y)dxdy.
A sub-área é descrita pela transformação de dxdy -> k.drdθ é determinada pela matriz Jacobiana, que é o módulo do produto vetorial dos vetores direcionais de base que queremos transforma – Assim como descrita na aula passada.
2) A altura do sólido: Ela é o valor de z = f(x,y), porém como estamos transformando f(x,y) em coordenadas polares a altura passa de f(x,y) -> f(r.cosθ, r.senθ). Ou seja:
3) O volume final: Agora que temos a área da base transformada e a altura modificada podemos reunir tudo isso em uma integral dupla. A transformação em geral será dada:
3. Jacobiano de dxdy -> k.drdθ:
Esses tipos de exercícios são muito cobrado em provas e muito importante para descrever a natureza real; Portanto, vamos resolver vários exercícios para ficar tudo mais claro!
