Integrais Duplas sobre Coordenadas Polares

1. Introdução:

As integrais duplas podem ficar muito difíceis quando estamos resolvendo da forma de uma integral dupla retangular. Por isso como na aula passada vimos, podemos mudar suas coordenadas, assim estamos mudando toda sua base, sua função e seus limites integrantes. Usando essas técnicas com efetividade podemos transforma-la em uma integral mais fácil de ser resolvida.

As coordenadas polares são variáveis que descrevem uma circunferência ou parte dela, então tal transformação nos favorece a resolver integrais no qual são definidas por setores circulares. Então para resolvermos essas integrais, geralmente o domínio da função deve ser dessa forma ou se comportar de forma parecida;

2. Descrição das Integrais Duplas sobre Coordenadas Polares:

A mudança de coordenadas retangulares (x,y) para as coordenadas polares (r,θ) é descrita por um triângulo retângulo, no qual o ponto (x,y) é descrito de ponto a ponto em função do ângulo que se encontra.

r: É o raio da circunferência, é a distância entre o ponto (0,0) até o ponto (x,y).
θ: É o ângulo entre a reta r e o eixo Ox. Esse ângulo varia de ponto a ponto.

Podemos calcular R pelo Teorema de Pitágoras: r² = x² + y²
E pelas relações Trigonométricas: x = r.cosθ ; y = r.senθ

Nunca se esqueça que a integral dupla surgiu primordialmente para resolver volumes de sólidos. Portanto o Volume geral de um sólido é dado por definição V = A_b.H (Área da base vezes a altura).

A área da base: Se em uma integral dupla retangular representa o volume total desse sólido, na verdade, esse volume é a somatória de muitos sub-volumes dados por V_ij = f(x,y)dxdy.

A sub-área é descrita pela transformação de dxdy -> k.drdθ é determinada pela matriz Jacobiana, que é o módulo do produto vetorial dos vetores direcionais de base que queremos transforma – Assim como descrita na aula passada.

2) A altura do sólido: Ela é o valor de z = f(x,y), porém como estamos transformando f(x,y) em coordenadas polares a altura passa de f(x,y) -> f(r.cosθ, r.senθ). Ou seja:

Observação: Alguns exercícios será necessário adaptar essa transformação a partir do domínio descrito. Sempre vamos querer transformar R em r² = constante. Logo nem sempre será possível fazendo a transformação em cima. Porém muito geralmente a substituíção a cima será utilizada. Fique tranquilo, nos exemplos você irá perceber a diferença.

3) O volume final: Agora que temos a área da base transformada e a altura modificada podemos reunir tudo isso em uma integral dupla. A transformação em geral será dada:

3. Jacobiano de dxdy -> k.drdθ:

Esses tipos de exercícios são muito cobrado em provas e muito importante para descrever a natureza real; Portanto, vamos resolver vários exercícios para ficar tudo mais claro!

Created on setembro 28, 2020 By

eric

Integral Dupla sobre Coordenadas Polares Quiz.

Agora que visto as matérias e exemplos resolvidos, pegue um papel e uma caneta e tente resolve-los sozinho! Tome cuidado na hora da transformação de (x,y) -> (r,θ) pois nem sempre será possível fazer a transformação padronizada, veja a diferença entre o exemplo 1 e o exemplo 2 resolvido (caso diferente tome cuidado com o jacobiano também).

Pegue um copo de água e bons estudos!

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Calcule a integral iterada, e usa as coordenadas polares para deixar a integral mais fácil de ser resolvida. ATENÇÃO: A transformação é diferente do padronizado, um vez que aparece o 3.y², veja o exemplo 3 e tente adaptar a esse exercício. (Não se esqueça do jacobiano mudado também.)

√2 (2√3 + ln(2 + √3))

√3/12 ( 2√3 + ln(1+√3))

√3/24.[2√3 + ln(2+√3)]

√3/36.[3√3 + ln(3+√3)]

2 / 3

Resolva a integral dada acima, não se esqueça que sempre é bom fazer um desenho do que está acontecendo - Principalmente de B.

2[√2 + ln(2+√5)]

1/3[√2 + ln(2+√2)]

1/6[√2 + ln(1+√2)]

1/12[√3 + ln(1+√3)]

3 / 3

Calcule a seguinte integral e coloque um check ao reseultado certo.

2π(1-sen1)

1/2π(1-cos1)

2π(1-cos1)

1/2π(1-sen1)

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