1. Introdução:

Na aula passada aprendemos como calcular integrais duplas sobre regiões retangulares. Resumidamente dividimos os retângulos em vários sub-retângulos de forma que suas sub-áreas multiplicadas por f(x,y) nos daria o volume dessa subdivisão e a somatória desses volumes nos dariam um valor muito preciso da área do sólido sobre o retângulo e abaixo de z = f(x,y). 

Porém a pergunta é: Como podemos calcular o volume de um sólido sobre uma região qualquer? Podemos estender os conceitos do domínio retangular, e colocar qualquer um domínio qualquer dentro dessa região retangular, de forma que a partir de uma condição de soma, poderíamos determinar sub-áreas de domínio qualquer e depois multiplica-los por f(x,y) afim de chegar em uma somatória de mini-volumes para chegar ao volume que queremos. Vamos dar uma olhada mais profundo nesse conceito.

2. Definindo f(x,y) em um domínio genérico D:

integralSobRegiõesGen
  • Primeiramente vamos considerar um domínio D genérico no qual ele é limitado. Lembre-se que qualquer domínio limitado pode ser colocado dentro de um retângulo R;
  • Em segundo lugar ainda pensando nos domínios retangulares podemos sair do pressuposto de que todo domínio de B pertence a R porém nem todo os valores de R pertencem ao domínio de D;
  • Para o conjunto de valores de R que não pertencem a D devemos considerar valores de f(x,y) = 0 – Uma vez que f(x,y) está sobre uma região genérica e não retangular. Logo definimos: 
INTEGRALSOBGEN3
Faz sentido! Pois o volume que estamos interessados é de um sólido que está sobre D então essa condição cabe bem a isso.

Portanto caso F(x,y) definido dessa forma e a integral dupla sobre o retângulo existir, definimos a integral dupla de f sobre D:

integralSobRegiõesGen1

Observe que se os valores (x,y) de f(x,y) pertencer a R e a D, temos uma contribuição no valor do volume do sólido, porém caso (x,y) pertencer apenas em R e não a D, não contribuição alguma no volume. A partir desse ideal a formula 1 se torna razoável. Não importa qual maior o domínio R seja tomado, a única importância é D ∈ R.

integralSobRegiõesGen2

3. Volume do Sólido Acima da Região Genérica D:

Caso f(x,y) ≥ 0 podemos interpretar a ∫∫Df(x,y)dA como o volume acima da região genérica D e abaixo do gráfico z = f(x,y). Portanto:

V = ∫∫Df(x,y)dA.

O livro do James Stwert Vol II, classifica a região D em dois tipos; 

a) Tipo I : Essa região é formada por dois gráficos de funções de x. Definimos o domínio da seguinte forma: 

integralSobRegiõesGen4

E alguns gráficos do domínio D do tipo 1 podem ser representados da seguinte forma:

integralSobRegiõesGen3

A integral pode ser expressa então: 

integralSobRegiõesGen5

Podemos expressar a integral dupla da seguinte maneira:

integralSobRegiõesGen6

b) Tipo II : Essa região é formada por dois gráficos de funções de y. Definimos o domínio da seguinte forma: 

integralSobRegiõesGen7
integralSobRegiõesGen9
integralSobRegiõesGen8

4. Método para Resolver Exercícios de Integrais Duplas em Regiões Genéricas:

Eu como estudante, ao fazer muitos exercícios, pensei em um método ótimo para resolver esses tipos de integrais duplas:

  1. Esboçar os gráficos que formam o domínio D, ou seja, desenhar B no plano Oxy.
  2. Descobrir os pontos onde o domínio começa e onde termina. (Geralmente é a intersecção entre os gráficos.)
  3. Montar a integral dupla de forma a organizar os limites integrantes (Sempre de baixo -> cima ou esquerda -> direita.)
  4. Resolver a integral dupla.

Claro que só descrevendo dessa forma fica complicado, mas vendo os exercícios resolvidos ficará mais claro.

Lembre-se de beber água!

Exemplos resolvidos:

integralSobRegiõesGen10
IntegralSobRegiãogen11
IntegralSobRegiãogen12
integralSobRegiõesGen13
integralSobRegiõesGen13
integralSobRegiõesGen14
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INTEGRALSOBGEN1 3

Integrais sobre regiões genéricas

Agora é sua vez de fazer exercícios, com a teoria e os exercícios resolvidos, acredito que de repertório suficiente para seguir seu caminho sozinho! Mande a ver, qualquer coisa me chama.

Não esqueça de beber água!

Grande abraço

 

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Resolva a integral Dupla dada pela imagem. Lembre-se do método descrito, e não se esqueça de esboçar o problema.

IntegralSobRegiãogen15

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Resolva a integral dupla sobre a região genérica D.

IntegralSobRegiãogen16

3 / 3

Dica: V = Ab. H, A Área da base é determinada pelas funções que formam o domínio e a altura pela função z = f(x,y).

IntegralSobRegiãogen17

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