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Na aula passada aprendemos como calcular integrais duplas sobre regiões retangulares. Resumidamente dividimos os retângulos em vários sub-retângulos de forma que suas sub-áreas multiplicadas por f(x,y) nos daria o volume dessa subdivisão e a somatória desses volumes nos dariam um valor muito preciso da área do sólido sobre o retângulo e abaixo de z = f(x,y).
Porém a pergunta é: Como podemos calcular o volume de um sólido sobre uma região qualquer? Podemos estender os conceitos do domínio retangular, e colocar qualquer um domínio qualquer dentro dessa região retangular, de forma que a partir de uma condição de soma, poderíamos determinar sub-áreas de domínio qualquer e depois multiplica-los por f(x,y) afim de chegar em uma somatória de mini-volumes para chegar ao volume que queremos. Vamos dar uma olhada mais profundo nesse conceito.
Portanto caso F(x,y) definido dessa forma e a integral dupla sobre o retângulo existir, definimos a integral dupla de f sobre D:
Observe que se os valores (x,y) de f(x,y) pertencer a R e a D, temos uma contribuição no valor do volume do sólido, porém caso (x,y) pertencer apenas em R e não a D, não contribuição alguma no volume. A partir desse ideal a formula 1 se torna razoável. Não importa qual maior o domínio R seja tomado, a única importância é D ∈ R.
V = ∫∫Df(x,y)dA.
O livro do James Stwert Vol II, classifica a região D em dois tipos;
E alguns gráficos do domínio D do tipo 1 podem ser representados da seguinte forma:
A integral pode ser expressa então:
Podemos expressar a integral dupla da seguinte maneira:
Eu como estudante, ao fazer muitos exercícios, pensei em um método ótimo para resolver esses tipos de integrais duplas:
Claro que só descrevendo dessa forma fica complicado, mas vendo os exercícios resolvidos ficará mais claro.
Lembre-se de beber água!
