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Calcular volumes de sólido usando a soma de Riemann é muito difícil, pois há muito trabalho para calcular um volume ainda muito ineficiente em relação ao volume real do sólido. As integrais iteradas são nada mais que um método para calcular as integrais duplas de f(x,y); Em outras palavras conseguimos transformar o calculo de uma integral dupla em duas integrais de uma variável.
Como o método procede?
Relembrando que as integrais são definidas em um domínio B tal que (x,y) pertencem ao plano do R².
Supondo que f(x,y) está definido em R – Retângulo dado por – [a,b] x [c,d]. Se considerarmos a integral:
\boxed{ A = \int^a_b\int^c_d{f(x,y)*dy*dx}}Se considerarmos x fixo, podemos integrar f(x,y) apenas em relação a y:
\boxed{ A = \int^c_d{f(x,y)*dy}}
Veja que essa função representa a área do plano OYZ, e seu resultado não será nada mais que uma função área em relação a variável x ou seja A(x). E para obter o volume, nada mais justo que fazer uma somatória dessas áreas do plano OYZ para cada valor x.
Esses valores de A(x) vão passar somando integralmente para m partições no eixo y que pertencem ao intervalo [a,b].
Veja que o volume é V = ∫ A(x)dx.
O resultado seria o mesmo! Faríamos primeiramente a integral f(x,y).dx. Logo temos:
E seu volume é expresso pela soma integral da área A(y) no plano OXZ pelo intervalo [c,d] no eixo y. Tal que esse resultado seria o próprio volume do sólido.
Conclusão: Independente de qual ordem resolver a integral dupla, o valor será o mesmo. Porém CUIDADO: Toda vez que invertido o caminho, os intervalos [a,b] x [c,d] devem ser alternados também. OBSERVE A EQ. 3 E 5 COMO MUDAM!
