1. Introdução:

Calcular volumes de sólido usando a soma de Riemann é muito difícil, pois há muito trabalho para calcular um volume ainda muito ineficiente em relação ao volume real do sólido. As integrais iteradas são nada mais que um método para calcular as integrais duplas de f(x,y); Em outras palavras conseguimos transformar o calculo de uma integral dupla em duas integrais de uma variável.

Como o método procede?

  1. É simples, podemos integrar a função f(x,y) parcialmente em relação à uma variável enquanto a outra variável é considerada uma constante.
  2. Depois que integrado a primeira parcialidade, integramos novamente o resultado obtido pela primeira integral.

Relembrando que as integrais são definidas em um domínio B tal que (x,y) pertencem ao plano do R².

2. Exemplo:

Supondo que f(x,y) está definido em R – Retângulo dado por – [a,b]  x [c,d]. Se considerarmos a integral:

\boxed{ A = \int^a_b\int^c_d{f(x,y)*dy*dx}}

Se considerarmos x fixo, podemos integrar f(x,y) apenas em relação a y:

\boxed{ A = \int^c_d{f(x,y)*dy}}

Veja que essa função representa a área do plano OYZ, e seu resultado não será nada mais que uma função área em relação a variável x ou seja A(x). E para obter o volume, nada mais justo que fazer uma somatória dessas áreas do plano OYZ para cada valor x. 

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Figura 1: Area A(x) a partir da integral de f(x,y) dy

Esses valores de A(x) vão passar somando integralmente para m partições no eixo y que pertencem ao intervalo [a,b].

Veja que o volume é V = ∫ A(x)dx.

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Equação Número 3: Outra forma de representar eq. 1 a partir das integrais iteradas.

E se fosse ao contrário? Com y fixo e x variável na 1ºIntegral.

O resultado seria o mesmo! Faríamos primeiramente a integral f(x,y).dx. Logo temos:

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Equação número 4.

E seu volume é expresso pela soma integral da área A(y) no plano OXZ pelo intervalo [c,d] no eixo y. Tal que esse resultado seria o próprio volume do sólido.

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Figura 2: Área A(y) a partir da intergral f(x,y)dx
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Equação Número 5: Outra forma de representar eq. 1 a partir das integrais iteradas.

Conclusão: Independente de qual ordem resolver a integral dupla, o valor será o mesmo. Porém CUIDADO: Toda vez que invertido o caminho, os intervalos [a,b] x [c,d] devem ser alternados também. OBSERVE A EQ. 3 E 5 COMO MUDAM!

3. Definição de integral Iterada:

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4. Teorema de Fubini:

Esse teorema nos indica a conclusão tirada logo acima. Independente do caminho feito para calcular a integral dupla, o valor será sempre o mesmo. Considerando é claro que R = { (x,y) | a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d } e que a integral é limitada em R e exista. Temos que:
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Exercícios Resolvidos:

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Resoluções:

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Faça você Mesmo! Alguns Exercícios de Fixação:

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Integrais Iteradas Quiz.

Depois que visto a teoria e os exercícios resolvidos, você deve tentar fazer exercícios sozinhos! Tente resolver esses exercícios. Mande a ver!

Não esqueça de beber água.

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Resolva a integral dupla Limitada pelo Retângulo R [2,4] x [-1,1]. Qual o valor do resultado?

Integral Iterada 1 quiz

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O resultado final da integral dupla dada é:

Integral Iterada 2 quiz 1

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Calcule a integral dupla iterada dado abaixo:

quiz 3 INTEGRAL DUPLA ITERADA

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Qual o resultado dessa integral dupla? (Sugestão - Use a substituição simples, Caso necessário Integração por partes).

Integral Iterada 3 quiz

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