Limite de uma função
Em termos simples, o limite de uma função em um ponto se refere ao valor que a função se aproxima à medida que a entrada (ou variável independente) se aproxima de um certo valor. Este conceito é crucial para entender como as funções se comportam perto de pontos específicos e é a base para definições mais complexas como a derivada e a integral.
Limite de uma função Quadrática: Um Exemplo Prático
- Para darmos introdução aos limites de uma função, vamos analisar o comportamento de uma função qualquer. Nosso exemplo usaremos a função f(x) = x^2 – x + 2.
Analisando os valores de y = f(x) para valores de x que se aproximam de 2, temos a seguinte tabela:
Veremos mais a frente sobre limites laterais, onde os valores se aproximam tanto da esquerda como da direita.
Observação: A medida que os valores de x vão se aproximando de 2, os valores de f(x) vão se aproximando de 4. Apenas olhe a tabela. Então podemos expressar da seguinte maneira:
“O limite de f(x) quando x tende a 2 é igual a 4.”
Ou seja, descrevemos matematicamente da seguinte maneira:
\lim_{x \to a} f(x) = L
Definição do Limite de uma Função
Supondo que o domínio de f(x) esteja definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto o próprio a, então temos que:
\lim_{x \to a} f(x) = L
“O Limite de f(x), quando x tende a “a”, é igual a L.
Se pudermos tornar os valores de f(x) suficientemente e arbitrariamente próximos do valor L, tornamos os valores de x suficientemente próximos de a, porém não igual a “a”.
De grosso modo
Os valores de f(x) tendem a ficar mais próximos de L, a medida que x tende a ficar mais próximos de a, mas x é diferente de a.
Observe que f(x) só precisa estar definido em valores próximas de a, porém não sequer precisa estar definido em x=a. Olhe a próxima figura e observe a diferença entre esses 3 gráficos:
Vamos aprender inúmeras formas de calcular limites. Iremos ver que podemos calcular de forma algebrica, de forma gráfica, utilizando métodos como de l’Hospital, assim como estimativas. Nesse primeiro momento vamos calcular utilizando estimativas matemáticas.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: Calcule o lim_{x \to 1}{\frac{x-1}{x^2-1}} a partir de estimativas.
Resposta: Inicialmente o nosso objetivo é calcularmos diversos valores de f(x), onde x vai se aproximando de x = 1 tanto pela esquerda como para direita. Vamos pegar a fórmula do limite e simplesmente substituir por valores cada vez mais próximos de x = 1.
Assim calculamos de valores de x<1 até x=1 e de x>1 até x =1;
Para x = 0,5; Temos f(0,5) = \lim_{x \to 1}{\frac{0,5 – 1}{(0,5)^2 – 1}} = 0,6666667Para x = 0,9; Temos f(0,9) = \lim_{x \to 1}{\frac{0,9 – 1}{(0,9)^2 – 1}} = 0,526316
Para x = 0,99; Temos f(0,99) = \lim_{x \to 1}{\frac{0,99 – 1}{(0,99)^2 – 1}} = 0,502513
Para x = 0,999; Temos f(0,999) = \lim_{x \to 1}{\frac{0,999 – 1}{(0,999)^2 – 1}} = 0,500250
Para x = 0,9999; Temos f(0,9999) = \lim_{x \to 1}{\frac{0,9999 – 1}{(0,9999)^2 – 1}} = 0,500025
Veja que nos estamos aproximando de x = 1 por valores menores do que 1. E assim chegamos cada vez mais próximos de f(0,999…) = 0,5000…
Portanto:
\boxed{lim_{x \to 1^-}{\frac{x-1}{x^2-1}} =0,5}
Vindo de valores mais altos que x = 1, ou seja para x tendendo para 1 pela direita temos:
Para x = 1,5; Temos f(1,5) = \lim_{x \to 1}{\frac{1,5- 1}{(1,5)^2 – 1}} = 0,4000000Para x = 1,1; Temos f(1,1) = \lim_{x \to 1}{\frac{1,1- 1}{(1,1)^2 – 1}} = 0,476190Para x = 1,01; Temos f(1,01) = \lim_{x \to 1}{\frac{1,01- 1}{(1,01)^2 – 1}} = 0,497512
Para x = 1,001; Temos f(1,001) = \lim_{x \to 1}{\frac{1,001- 1}{(1,001)^2 – 1}} = 0,499750Para x = 1,0001; Temos f(1,0001) = \lim_{x \to 1}{\frac{1,0001- 1}{(1,0001)^2 – 1}} = 0,499975
Portanto:
\boxed{lim_{x \to 1^+}{\frac{x-1}{x^2-1}} =0,5}
Assim concluímos que:
\boxed{lim_{x \to 1}{\frac{x-1}{x^2-1}} = 0,5}
Exemplo 2: Calcule o lim_{t \to 0}({\sqrt{ (t^2 + 9) } – 3})/t^2 a partir de estimativas.
Vejamos que utilizamos do mesmo passo a passo para calcular tal limite por estimativa. Ou seja vamos supor diversos valores maiores e menores que t = 0 de modo a chegarmos na conclusão dos valores mais próximos de um limite descrito em exercício.
Assim utilizamos o mesmo método, chegamos nos seguintes valores:
Chegamos a conclusão de que:
\boxed{lim_{t \to 0}{(\sqrt{t^2+9} – 3)}/t^2 = \frac{1}{6}}