Vamos inicialmente registrar as informações que temos disponíveis:
- Um meio não magnético significa que a permeabilidade magnética do meio é igual à do vácuo, portanto: \mu_0 = 4\pi.10^{-7} H/m
- Foi dado o campo magnético h = 50.cos(\omega t – kz) \hat{x} + 100.sen(\omega t – kz) \hat{y}
- Foi dado o valor da frequência angular \omega = 3.10^9 rad/s
- Por ser um Dielétrico perfeito (Não há condutividade elétrica) temos que \sigma = 0 \therefore j = \sigma * \vec{e} = 0
O plano é aplicar as equações de maxwell para descobrir o campo elétrico correspondente ao campo magético. Assim vamos aplicar a lei de Ampère-Maxwell:
\large{\nabla \times \vec{h} = \left(\vec{j} + \vec{j_d} \right)}
Se o meio tem condutividade nula, a densidade de corrente de condução é nula. Assim:
\large{\nabla \times \vec{h} = \left(\cancel{\vec{j}} + \epsilon_0 \frac{\partial \vec{e}}{\partial t} \right)}
Sobrando somente:
(1) \large{\nabla \times \vec{h} = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{e}}{\partial t} }
Já que temos o campo magnético, vamos calcular o rotacional dele:
\nabla \times \vec{h} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 50.cos(\omega t – kz) & 100.sen(\omega t – kz) & 0 \\ \end{vmatrix} = \frac{\partial}{\partial z} (50.cos(\omega t – kz) \hat{y}) – \frac{\partial}{\partial z} (100.sen(\omega t – kz) \hat{x})\nabla \times \vec{h} = 50* \frac{\partial}{\partial z} (cos(\omega t – kz) \hat{y}) – 100* \frac{\partial}{\partial z} (sen(\omega t – kz) \hat{x})
\nabla \times \vec{h} = 50* (-sen(\omega t – kz)*\underbrace{(\omega t – kz)'}_{\text{regra da cadeia}}) \hat{y}) – 100* cos(\omega t – kz)*\underbrace{(\omega t – kz)' }_{\text{Regra da Cadeia}})\hat{x}
Então temos calculado o rotacional do campo magnético:
\boxed{\nabla \times \vec{h} = 50 * k *sen(\omega t – kz) \hat{y} + 100* k *cos(\omega t – kz)\hat{x}}
Igualando na equ. (1), temos:
\nabla \times \vec{h} = 50 * k *sen(\omega t – kz) \hat{y} + 100* k *cos(\omega t – kz)\hat{x} = \large{ \epsilon \frac{\partial \vec{e}}{\partial t}}
Agora vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
\frac{1}{\epsilon}(50 * k *sen(\omega t – kz) \hat{y} + 100* k *cos(\omega t – kz)\hat{x})\partial t = \large{\partial \vec{e}}
\large{\vec{e} = \int \frac{1}{\epsilon}[(50 * k *sen(\omega t – kz) \hat{y} + 100* k *cos(\omega t – kz)\hat{x} ] \partial t}
\large{\vec{e} = \frac{1}{\epsilon} [ 50 * k * (-cos(\omega t -kz) * \frac{1}{\omega}) \hat{y} + 100 * k * (sen(\omega t – kz)*\frac{1}{\omega}) \hat{x}]}
\large{\vec{e} = \frac{1}{\epsilon} [ – 50 * k * cos(\omega t -kz)* \frac{1}{\omega} \hat{y} + 100 * k * sen(\omega t – kz)* \frac{1}{\omega}\hat{x}}
Portanto o campo elétrico fica da seguinte forma:
\boxed{\large{\vec{e} = – \frac{ 50 * k * cos(\omega t -kz) }{\epsilon * \omega}\hat{y} + \frac{100 * k * sen(\omega t – kz)}{\epsilon * \omega} \hat{x}}}
Para descobrirmos o valor de K vai ser uma loucura! Pois agora vamos calcular o campo magnético a partir do campo elétrico que tinhamos calculado anteriormente e igualarmos ao campo magnético dado inicialmente.
A partir da lei de Faraday-Maxwell
(1) \nabla \times \mathbf{e} = -\mu_0*\frac{\partial \mathbf{h}}{\partial t}
Porém para poupar-nos do trabalho, podemos utilizar uma formula final para calcularmos o valor de K que é dado por:
K = \omega\sqrt{\epsilon*\mu_0}K = \omega\sqrt{4\epsilon_0*\mu_0}
\boxed{K = 3*10^9*\sqrt{4*8,85.10^{-12}*12,566*10^{-7}} = 20,01 rad/m}