1. Introdução:
Na aula passada aprendemos como calcular integrais duplas sobre regiões retangulares. Resumidamente dividimos os retângulos em vários sub-retângulos de forma que suas sub-áreas multiplicadas por f(x,y) nos daria o volume dessa subdivisão e a somatória desses volumes nos dariam um valor muito preciso da área do sólido sobre o retângulo e abaixo de z = f(x,y).
Porém a pergunta é: Como podemos calcular o volume de um sólido sobre uma região qualquer? Podemos estender os conceitos do domínio retangular, e colocar qualquer um domínio qualquer dentro dessa região retangular, de forma que a partir de uma condição de soma, poderíamos determinar sub-áreas de domínio qualquer e depois multiplica-los por f(x,y) afim de chegar em uma somatória de mini-volumes para chegar ao volume que queremos. Vamos dar uma olhada mais profundo nesse conceito.
2. Definindo f(x,y) em um domínio genérico D:
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 7 integralSobRegiõesGen](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen.png)
- Primeiramente vamos considerar um domínio D genérico no qual ele é limitado. Lembre-se que qualquer domínio limitado pode ser colocado dentro de um retângulo R;
- Em segundo lugar ainda pensando nos domínios retangulares podemos sair do pressuposto de que todo domínio de B pertence a R porém nem todo os valores de R pertencem ao domínio de D;
- Para o conjunto de valores de R que não pertencem a D devemos considerar valores de f(x,y) = 0 – Uma vez que f(x,y) está sobre uma região genérica e não retangular. Logo definimos:
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 8 INTEGRALSOBGEN3](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/INTEGRALSOBGEN3.png)
Portanto caso F(x,y) definido dessa forma e a integral dupla sobre o retângulo existir, definimos a integral dupla de f sobre D:
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 9 integralSobRegiõesGen1](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen1.png)
Observe que se os valores (x,y) de f(x,y) pertencer a R e a D, temos uma contribuição no valor do volume do sólido, porém caso (x,y) pertencer apenas em R e não a D, não contribuição alguma no volume. A partir desse ideal a formula 1 se torna razoável. Não importa qual maior o domínio R seja tomado, a única importância é D ∈ R.
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 10 integralSobRegiõesGen2](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen2.png)
3. Volume do Sólido Acima da Região Genérica D:
V = ∫∫Df(x,y)dA.
O livro do James Stwert Vol II, classifica a região D em dois tipos;
a) Tipo I : Essa região é formada por dois gráficos de funções de x. Definimos o domínio da seguinte forma:
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 11 integralSobRegiõesGen4](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen4.png)
E alguns gráficos do domínio D do tipo 1 podem ser representados da seguinte forma:
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 12 integralSobRegiõesGen3](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen3-1024x236.png)
A integral pode ser expressa então:
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 13 integralSobRegiõesGen5](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen5.png)
Podemos expressar a integral dupla da seguinte maneira:
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 14 integralSobRegiõesGen6](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen6.png)
b) Tipo II : Essa região é formada por dois gráficos de funções de y. Definimos o domínio da seguinte forma:
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 15 integralSobRegiõesGen7](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen7.png)
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 16 integralSobRegiõesGen9](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen9.png)
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 17 integralSobRegiõesGen8](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen8.png)
4. Método para Resolver Exercícios de Integrais Duplas em Regiões Genéricas:
Eu como estudante, ao fazer muitos exercícios, pensei em um método ótimo para resolver esses tipos de integrais duplas:
- Esboçar os gráficos que formam o domínio D, ou seja, desenhar B no plano Oxy.
- Descobrir os pontos onde o domínio começa e onde termina. (Geralmente é a intersecção entre os gráficos.)
- Montar a integral dupla de forma a organizar os limites integrantes (Sempre de baixo -> cima ou esquerda -> direita.)
- Resolver a integral dupla.
Claro que só descrevendo dessa forma fica complicado, mas vendo os exercícios resolvidos ficará mais claro.
Lembre-se de beber água!
Exemplos resolvidos:
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 18 integralSobRegiõesGen10](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen10.png)
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 19 IntegralSobRegiãogen11](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/IntegralSobRegiãogen11-830x1024.jpeg)
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 20 IntegralSobRegiãogen12](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/IntegralSobRegiãogen12.png)
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 21 integralSobRegiõesGen13](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen13-698x1024.jpeg)
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 22 integralSobRegiõesGen13](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen13.png)
![Integrais Duplas Sobre Regiões Genéricas 23 integralSobRegiõesGen14](https://breakthescience.com.br/wp-content/uploads/2020/09/integralSobRegiõesGen14-893x1024.jpeg)