Introdução as Leis de Reflexão e Refração
Quando uma onda eletromagnética se propaga de um meio para outro, ocorrem muitos fenômenos importantes. Cada meio é caracterizado pela sua formação atômica e suas interações elétricas com uma onda eletromagnética podem afetar a velocidade das ondas, assim como podem apresentar dificuldades na propagação dos mesmos.
Haja vista que cada meio possui seu próprio coeficiente de atenuação, de fase que dependem de propriedades como a permissividade elétrica, a condutividade elétrica e a permeabilidade elétrica, que se relacionam com a frequência que essa onda é propagada.
Vejamos que toda teoria tem uma base sólida dos fundamentos elementares da ciência. E a partir do chama condições de contorno, podemos desenvolver as leis da reflexão e da refração (ou transferência) da onda de um meio à outro.
Reflexão da Onda Eletromagnética
Para definirmos tais leis, devemos satisfazer as condições da superfície de contorno na superfície de separação entre os meios.
Condição de continuidade da componente tangencial do campo elétrico:
Vejamos que tanto a onda E_i, E_r, E_t possuem uma componente tangencial e uma componente normal a superfície. Vejamos que assumimos que z = 0 será nossa superfície.
Sobre a superfície S, temos portanto a seguinte condição:
\hat{n} \times \vec{E}_1 = \hat{n} \times \vec{E}_2
A normal de acordo com a figura acima é dada no eixo z. Na interface do meio 1, temos uma sobreposição de ondas, ou seja, a existência da onda incidente e da onda refletida. Portanto o lado exquerdo da condição fica:
\large{z \times \left(\vec{E}_{io}.e^{-\vec{\gamma_i}.\vec{r}_s} + \vec{E}_{ro} . e^{-\vec{\gamma_r}.\vec{r}_s}\right) = z \times \vec{E}_{to}.e^{-\vec{\gamma_t}.\vec{r}_s}}
Visto que na aula anterior foi definido os componentes E_i, E_r, E_t e H_i, H_r, H_t, assim como seus respectivos vetores de progagação.
A condição de continuidade deve não depender do vetor posição que se encontra no plano divisório \vec{r_s} , assim as exponenciais da equação acima devem ser iguais, de modo que portanto, as suas potências devem ser iguais. Portanto:
\large{\vec{\gamma_i}.\vec{r}_s = \vec{\gamma_r}.\vec{r}_s = \vec{\gamma_t}.\vec{r}_s }
Da igualdade acima podemos concluir que:
\large{\vec{r_s}.\left(\vec{\gamma}_i – \vec{\gamma}_r \right) = 0 }
Tirando a conclusão que a partir do produto escalar da formula acima, temos que o vetor \vec{r_s} é perpendicular ao plano que os vetores de propagação estão, de forma que os vetores de propagação formam um plano chamado plano de incidência.
1ª lei da reflexão: vetores de propagação da onda incidente e onda refletida são clopanares, no qual o plano a que pertencem é perpendicular à interface entre dois meios. A onda incidente e refletida pertencem ao plano de incidência e este mesmo plano é perpendicular ao plano de reflexão.
Vejamos na figura abaixo:
Fazendo a análise geométrica a partir dos conceitos de trigonometria, temos que:
(1) \vec{\gamma}_i = \gamma_i . sen(\phi_i) \hat{x} + \gamma_i . cos(\phi_i) \hat{z}(2) \vec{\gamma}_r = \gamma_r . sen(\phi_r) \hat{x} – \gamma_r . cos(\phi_r) \hat{z}(3) \vec{\gamma}_t = \gamma_t . sen(\phi_t) \hat{x} + \gamma_t . cos(\phi_t) \hat{z}Pelos conceitos de Geometria Analítica temos que um vetor unitário (aquele que expressa a unidade básica de um vetor, é dado por:
(4) \large{\hat{\gamma} = \frac{\vec{\gamma}}{|\vec{\gamma}|}}
Utilizando as fórmulas (1), (2) e (3) aplicado a fórmula (4), temos que, ou seja, expressando as fórmulas (1), (2) e (3) em termos de seus vetores unitários temos que:
(5) \large{\hat{\gamma}_i = \frac{\vec{\gamma}_i }{\gamma_i} = sen(\phi_i) \hat{x} + cos(\phi_i) \hat{z}}(6) \large{\hat{\gamma}_r = \frac{\vec{\gamma}_r }{\gamma_r} = sen(\phi_r) \hat{x} – cos(\phi_r) \hat{z}}(7) \large{\hat{\gamma}_t = \frac{\vec{\gamma}_t }{\gamma_t} = sen(\phi_t) \hat{x} + cos(\phi_t) \hat{z}}Voltando a fórmula dada por: \large{\vec{\gamma_i}.\vec{r}_s = \vec{\gamma_r}.\vec{r}_s = \vec{\gamma_t}.\vec{r}_s } -> (definido anteriormente)
Podemos juntar o negócio todo. Ou seja:
\large{\vec{\gamma_i}.\vec{r}_s = \vec{\gamma_r}.\vec{r}_s}Portanto, temos a igualdade:
\large{(sen(\phi_i) \hat{x} + cos(\phi_i) \hat{z}). \vec{r}_s = (sen(\phi_r) \hat{x} – cos(\phi_r) \hat{z}}). \vec{r}_sGerando o seguinte produto escalar:
\large{(sen(\phi_i) \hat{x} + cos(\phi_i) \hat{z}). (x\hat{x} + y\hat{y}) = (sen(\phi_r) \hat{x} – cos(\phi_r) \hat{z}}). (x\hat{x} + y\hat{y})Desenvolvendo o produto escalar, temos o seguinte resultado:
\large{x.sen(\phi_i) = x.sen(\phi_r)}Concluimos a segunda lei da reflexão! Onde:
\large{\phi_i = \phi_r}
Segunda lei da Reflexão: O ângulo de incidência e o ângulo de reflexão são iguais, independente dos meios de propagação sobre qualquer comprimento de onda.