Exercícios Divergente de uma Função Vetorial. Treine com os exercícios resolvidos de cálculo vetorial com breakthescience.

Caso ficar com dúvidas confira a aula: Divergente de uma Função Vetorial

Exercício 1 – Determine o Divergente de F(x,y,z) da função vetorial abaixo:

\mathbf{F}(x,y,z) = (xyz)\mathbf{i} - (x^2y)\mathbf{k}

Só para curiosidade olhe como ficaria plotado o campo vetorial F:

Sabendo que:

div{\mathbf{F}} =  \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

div{\mathbf{F}} =  \frac{\partial }{\partial x}(xyz) + \frac{\partial }{\partial y}(0) + \frac{\partial }{\partial z}(-x^2y) = yz

\therefore \boxed{div\mathbf{F} = yz}

Exercício 2 – Determine o divergente da seguinte função vetorial:

\mathbf{F(x,y,z)} = (x^2 + z)\mathbf{i} - y^2\mathbf{j} + (2x + 3y + z^2)\mathbf{k}

Do mesmo jeito que foi feito no exercício 1, temos a seguinte resolução:

div\mathbf{F(x,y,z)} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + z) + \frac{\partial}{\partial y}(-y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(2x + 3y + z^2)

div\mathbf{F(x,y,z)} = 2x - 2y + 2z

Exercício 3 – Resolva a expressão abaixo:

\nabla.(\nabla\phi), onde : \phi(x,y) = x^2y 

Esse exercício já pode ser um pouco mais confundido! Vamos inicialmente utilizar da propria gramática para entender essa expressão:

“O Divergente do gradiente da função phi”. Ou seja, o primeiro \nabla é uma notação para o divergente de uma função.

O segunda \nabla é o gradiente de \phi, o que é outra operação! O gradiente de uma função vetorial retorna outro vetor. O divergente de uma função vetorial é uma função escalar ou propriamente um valor escalar!

Resolvendo o gradiente: \nabla\phi:

\nabla.\phi = \left(\frac{\partial}{\partial x}[\phi(x,y)]\right)\mathbf{i}  + \left(\frac{\partial}{\partial y}[\phi(x,y)]\right)\mathbf{j}  

\nabla.\phi = \left(\frac{\partial}{\partial x}[x^2y]\right)\mathbf{i}  + \left(\frac{\partial}{\partial y}[x^2y]\right)\mathbf{j} = (2xy)\mathbf{i} + x^2\mathbf{j}  

Ou seja, o gradiente de \phi nos retorna um vetor! Que por sua vez é aplicado o divergente desse vetor:

\nabla.(\nabla\phi) =  \nabla.((2x)\mathbf{i} + 1.\mathbf{j}) = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j}\right).((2xy)\hat{i} + x^2\hat{j}) = 2y + 0

\boxed{\nabla.(\nabla\phi) = 2y}

Em outro artigo postado aqui no breakthescience, voltaremos a falar sobre esse operador, no qual \nabla(\nabla\phi) \to \nabla ^2\phi, se: \phi \to escalar. chamamos esse operador de Laplaciano.