O campo elétrico dado no enunciado está expressa na forma complexa. Para consegui-los passar para o domínio instantâneo (ou seja, em função do tempo) é necessário utilizar os seguintes passos:
- Multiplica-se o fasor por e^{i\omega t}
- Fazer expansão utilizando a lei de Euler, onde: e^{i\theta} = cos(\theta) + i.sen(\theta)
- Se o fasor inicial (E ou H) for em cosseno – selecionar parte real e descartar imaginário, caso E ou H for seno – selecionar parte imaginária e descartar parte real.
No caso do exercício 5, E depende da função trigonométrica cosseno, portanto no passo (3) vamos selecionar a parte real.
Portanto:
\vec{E} = (10\hat{x} + i20\hat{y}).e^{-ikz} V/m
Seguindo o passo (1), temos:
\vec{E} = (10\hat{x} + i20\hat{y}).e^{-ikz}.e^{i\omega t} V/m
A partir da propriedade de potência temos que a^x * a^y = a^{x+y} de modo que podemos aplicar com o exponencial natural da equação acima, ficando da seguinte maneira:
\vec{e}(t) = Re{(10\hat{x} + i20\hat{y}).e^{-ikz + i\omega t}} V/m
\vec{e} (t) = Re(10\hat{x} + i20\hat{y}).e^{i(\omega t – kz)} V/m
Pelo passo (2) vamos aplicar a lei de Euler, e no caso acima temos que \theta = \omega t – kz, Assim:
e^{i(\omega t – kz)} = cos(\omega t – kz) + i.sen(\omega t – kz)
Assim vamos substituir a equação acima em nossa equação do campo elétrico, de modo que fica da seguinte forma:
\vec{e} = Re{(10\hat{x} + i20\hat{y}).[cos(\omega t – kz) + i.sen(\omega t – kz)]} V/m
\vec{e} = Re[10\hat{x}.cos(\omega t – kz) + 10\hat{x}.i.sen(\omega t – kz) + i.20\hat{y}.cos(\omega t – kz) + i^2 .20\hat{y}.sen(\omega t – kz))]
Vamos agora no passo (3) descartar a parte imaginária, uma vez que temos um cosseno na expressão.
Lembre-se que i² = -1. Portanto temos:
\vec{e} = Re[10\hat{x}.cos(\omega t – kz) + \cancel{10\hat{x}.i.sen(\omega t – kz)} + \cancel{i.20\hat{y}.cos(\omega t – kz)} – 20\hat{y}.sen(\omega t – kz))]
Sobrando somente o que:
\boxed{\vec{e} = 10.cos(\omega t – kz).\hat{x} – 20.sen(\omega t – kz).\hat{y}}